3. В прямоугольном треугольника длина одного из катетов равна а, а величина угла, прилежащего к этому катету, равна в. а) Необходимо выразить второй катет, второй острый угол и гипотенузу через в и а. б) Найти их значения, если в = 40°, а = 15 см.

Краткое пояснение:

Решение:

а) Выражение второго катета, второго острого угла и гипотенузы через β и a.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°, катет AC = a, угол BAC = β.

1) Второй катет (BC) можно выразить через тангенс угла β:

\[ \tan(\beta) = \frac{BC}{AC} \] \[ BC = AC \cdot \tan(\beta) = a \cdot \tan(\beta) \]

2) Второй острый угол (ABC) можно найти, зная, что сумма углов в треугольнике равна 180°:

\[ \angle ABC = 90^\circ - \beta \]

3) Гипотенузу (AB) можно выразить через косинус угла β:

\[ \cos(\beta) = \frac{AC}{AB} \] \[ AB = \frac{AC}{\cos(\beta)} = \frac{a}{\cos(\beta)} \]

б) Найти их значения, если β = 40°, a = 15 см.

1) Второй катет (BC):

\[ BC = 15 \cdot \tan(40^\circ) \approx 15 \cdot 0.839 \approx 12.585 \text{ см} \]

2) Второй острый угол (ABC):

\[ \angle ABC = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \]

3) Гипотенуза (AB):

\[ AB = \frac{15}{\cos(40^\circ)} \approx \frac{15}{0.766} \approx 19.582 \text{ см} \]