15. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA,B,C,D, известно, что АВ=16, AD=12 и АА1-7. Найдите синус угла между прямыми CD и А.С.

Решение:

Давай разберем эту задачу по геометрии. Нам нужно найти синус угла между прямыми CD и A₁C₁ в прямоугольном параллелепипеде.

1. Анализ геометрии

   В прямоугольном параллелепипеде ABCD A₁B₁C₁D₁ противоположные стороны параллельны и равны. Значит, CD || A₁B₁.

2. Угол между прямыми

   Угол между CD и A₁C₁ равен углу между A₁B₁ и A₁C₁. Рассмотрим треугольник A₁B₁C₁.

3. Параметры треугольника A₁B₁C₁

   • A₁B₁ = AB = 16
   • B₁C₁ = BC = AD = 12
   • A₁A = 7 (высота параллелепипеда)

4. Находим A₁C₁

   Рассмотрим прямоугольник AA₁C₁C, в котором AC - диагональ основания, AA₁ - высота. Сначала найдем AC (диагональ основания) по теореме Пифагора:

   \[AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20\]

   Теперь найдем A₁C₁ по теореме Пифагора из треугольника AA₁C₁:

   \[A_1C = \sqrt{AC^2 + AA_1^2} = \sqrt{20^2 + 7^2} = \sqrt{400 + 49} = \sqrt{449}\]

5. Находим B₁A₁

   По теореме Пифагора из треугольника А₁АВ₁:\[A_1B_1 = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{16^2 + 7^2} = \sqrt{256 + 49} = \sqrt{305}\]

6. Применим теорему косинусов

   Теперь, чтобы найти косинус угла B₁A₁C₁, используем теорему косинусов в треугольнике A₁B₁C₁:

   \[B_1C_1^2 = A_1B_1^2 + A_1C_1^2 - 2 \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \cos(\angle B_1A_1C_1)\]

   \[12^2 = (\sqrt{305})^2 + (\sqrt{449})^2 - 2 \cdot \sqrt{305} \cdot \sqrt{449} \cdot \cos(\angle B_1A_1C_1)\]

   \[144 = 305 + 449 - 2 \cdot \sqrt{305 \cdot 449} \cdot \cos(\angle B_1A_1C_1)\]

   \[2 \cdot \sqrt{305 \cdot 449} \cdot \cos(\angle B_1A_1C_1) = 305 + 449 - 144\]

   \[2 \cdot \sqrt{136945} \cdot \cos(\angle B_1A_1C_1) = 610\]

   \[\cos(\angle B_1A_1C_1) = \frac{610}{2 \cdot \sqrt{136945}} = \frac{305}{\sqrt{136945}} \approx 0.823\]

7. Находим синус угла

   Теперь найдем синус угла, используя основное тригонометрическое тождество:

   \[\sin^2(\angle B_1A_1C_1) + \cos^2(\angle B_1A_1C_1) = 1\]

   \[\sin(\angle B_1A_1C_1) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle B_1A_1C_1)} = \sqrt{1 - \left(\frac{305}{\sqrt{136945}}\right)^2}\]

   \[\sin(\angle B_1A_1C_1) = \sqrt{1 - \frac{305^2}{136945}} = \sqrt{1 - \frac{93025}{136945}} = \sqrt{\frac{136945 - 93025}{136945}} = \sqrt{\frac{43920}{136945}}\]

   \[\sin(\angle B_1A_1C_1) = \sqrt{\frac{43920}{136945}} \approx \sqrt{0.3207} \approx 0.566\]

Ответ: 0.566