В прямоугольнике АВС угол С равен 60°. На стороне АС отмечена точка D так, что угол ВDС равен 90°, а СА=5см. Найми AC и расстояние от точки D до стороны АВ.

Привет! Давай решим эту задачу по геометрии вместе.

Решение:

1. Начнем с анализа углов. В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 60 градусам. Следовательно, угол A равен 90 - 60 = 30 градусам.
2. Рассмотрим треугольник BDC. Угол BDC равен 90 градусам, угол C равен 60 градусам, значит, угол DBC равен 180 - 90 - 60 = 30 градусам.
3. Найдем BC. В прямоугольном треугольнике ABC, где угол A равен 30 градусам, катет BC, лежащий напротив этого угла, равен половине гипотенузы AB. То есть, BC = 1/2 * AB.
4. Найдем BD. В прямоугольном треугольнике BDC, где угол DBC равен 30 градусам, катет DC равен половине гипотенузы BC. То есть, DC = 1/2 * BC. Так как CA = 5 см, то DA = CA - DC = 5 - 1/2 * BC.
5. Выразим AB через BC. AB = 2 * BC. Тогда DA = 5 - 1/2 * BC.
6. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. В нем угол A равен 30 градусам. Следовательно, BD = 1/2 * AB, то есть BD = BC.
7. Запишем теорему Пифагора для треугольника ABD. AD^2 + BD^2 = AB^2. Заменим значения: (5 - 1/2 * BC)^2 + BC^2 = (2 * BC)^2.
8. Решим уравнение. Разложим уравнение: 25 - 5BC + 1/4 * BC^2 + BC^2 = 4BC^2. Приведем подобные члены: 25 - 5BC = 11/4 * BC^2. Умножим обе части на 4: 100 - 20BC = 11BC^2. Перенесем все в одну сторону: 11BC^2 + 20BC - 100 = 0.
9. Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант: D = 20^2 - 4 * 11 * (-100) = 400 + 4400 = 4800. Найдем корни: BC = (-20 ± √4800) / 22. Так как BC должно быть положительным, то BC = (-20 + √4800) / 22. √4800 ≈ 69.28, тогда BC ≈ (-20 + 69.28) / 22 ≈ 49.28 / 22 ≈ 2.24 см.
10. Найдем AB. AB = 2 * BC ≈ 2 * 2.24 ≈ 4.48 см.
11. Расстояние от D до AB. Расстояние от точки D до стороны AB — это высота в прямоугольном треугольнике ABD, опущенная из вершины D на гипотенузу AB. Площадь треугольника ABD равна 1/2 * AD * BD = 1/2 * AB * h, где h — искомая высота. AD = 5 - 1/2 * BC ≈ 5 - 1/2 * 2.24 ≈ 5 - 1.12 ≈ 3.88 см. BD = BC ≈ 2.24 см. Тогда h = (AD * BD) / AB ≈ (3.88 * 2.24) / 4.48 ≈ 8.69 / 4.48 ≈ 1.94 см.

Ответ: AC = 5 см, расстояние от точки D до стороны AB ≈ 1.94 см.

Отлично! Теперь ты знаешь, как решать подобные задачи. Помни, что практика — ключ к успеху. У тебя все получится!