В прямоугольнике ABCD AB = 2 см, AD = 5 см. Отрезок AM перпендикулярен плоскости прямоугольника, ∠ ABM = 30°. Найдите объем многогранника MABD.

Решение:

Многогранник MABD можно рассматривать как пирамиду с основанием ABD и вершиной M.

1. Найдём площадь основания ABD:

Так как ABCD — прямоугольник, то угол ∠ DAB = 90°. Треугольник ABD — прямоугольный.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

\[ S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \]\[ S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 5 \text{ см}^2 \]

2. Найдём высоту пирамиды (длину отрезка AM):

Отрезок AM перпендикулярен плоскости прямоугольника ABCD. Значит, AM перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку A, в том числе и прямой AB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM (угол ∠ BAM = 90°).

У нас есть угол ∠ ABM = 30° и катет AB = 2 см.

Используем тангенс угла:

\[ \text{tg}(\angle ABM) = \frac{AM}{AB} \]\[ \text{tg}(30^{\circ}) = \frac{AM}{2 \text{ см}} \]\[ AM = 2 \text{ см} \cdot \text{tg}(30^{\circ}) = 2 \text{ см} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \text{ см} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см} \]

3. Найдём объём многогранника MABD:

Объём пирамиды вычисляется по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{основания} \cdot h \]\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABD} \cdot AM \]\[ V = \frac{1}{3} \cdot 5 \text{ см}^2 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см} \]\[ V = \frac{10\sqrt{3}}{9} \text{ см}^3 \]

Ответ: Объём многогранника MABD равен $$\frac{10\sqrt{3}}{9}$$ см³.