В правильной треугольной призме (в основании лежат правильные треугольники) все рёбра равны 1. Найдите косинус угла между прямыми AD₁ и СЕ₁, где D₁ и Е₁ – соответственно середины рёбер А₁С₁ и В₁С₁.

Обозначим вершины нижнего основания призмы как A, B, C, а вершины верхнего основания как A₁, B₁, C₁. Пусть D₁ - середина ребра A₁C₁, а E₁ - середина ребра B₁C₁.

Введем систему координат с началом в точке A, осью x, направленной вдоль AB, осью y, перпендикулярной AB в плоскости ABC, и осью z, направленной вдоль AA₁.

Тогда координаты точек будут следующими:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1/2, √3/2, 0)
• A₁(0, 0, 1)
• B₁(1, 0, 1)
• C₁(1/2, √3/2, 1)

Координаты точек D₁ и E₁:

• D₁ - середина A₁C₁, следовательно D₁((0 + 1/2)/2, (0 + √3/2)/2, (1 + 1)/2) = (1/4, √3/4, 1)
• E₁ - середина B₁C₁, следовательно E₁((1 + 1/2)/2, (0 + √3/2)/2, (1 + 1)/2) = (3/4, √3/4, 1)

Вектор AD₁ имеет координаты (1/4, √3/4, 1).

Вектор CE₁ имеет координаты (3/4 - 1/2, √3/4 - √3/2, 1 - 0) = (1/4, -√3/4, 1).

Косинус угла между векторами AD₁ и CE₁ равен:

$$\cos θ = \frac{AD₁ \cdot CE₁}{|AD₁| \cdot |CE₁|}$$

Вычислим скалярное произведение векторов AD₁ и CE₁:

$$AD₁ \cdot CE₁ = (1/4)(1/4) + (√3/4)(-√3/4) + (1)(1) = 1/16 - 3/16 + 1 = 1 - 2/16 = 1 - 1/8 = 7/8$$

Вычислим длины векторов AD₁ и CE₁:

$$|AD₁| = \sqrt{(1/4)^2 + (√3/4)^2 + 1^2} = \sqrt{1/16 + 3/16 + 1} = \sqrt{4/16 + 1} = \sqrt{1/4 + 1} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$ $$|CE₁| = \sqrt{(1/4)^2 + (-√3/4)^2 + 1^2} = \sqrt{1/16 + 3/16 + 1} = \sqrt{4/16 + 1} = \sqrt{1/4 + 1} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$

Тогда:

$$\cos θ = \frac{7/8}{\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{7/8}{5/4} = \frac{7}{8} \cdot \frac{4}{5} = \frac{7}{2 \cdot 5} = \frac{7}{10} = 0.7$$

Ответ: 0.7