В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S точка М – середина SD, точка К – середина SA.

Решение:

а) Доказательство принадлежности плоскости:

Точка К принадлежит ребру SA. Точка М принадлежит ребру SD.

Поскольку SA и SD являются рёбрами пирамиды, они принадлежат грани SAD.

Любые две точки, принадлежащие одной плоскости, определяют эту плоскость. Следовательно, точки S, A, D лежат в одной плоскости.

Прямая BK содержит точку K, которая лежит на ребре SA. Прямая CM содержит точку M, которая лежит на ребре SD.

Так как K и M лежат на рёбрах SA и SD соответственно, и эти рёбра принадлежат грани SAD, то точки K и M принадлежат грани SAD. Следовательно, прямые BK и CM, проходящие через эти точки, также принадлежат плоскости грани SAD.

Таким образом, прямые BK и CM лежат в одной плоскости (плоскости грани SAD).

б) Нахождение высоты пирамиды:

По условию, угол между плоскостью основания пирамиды и плоскостью α равен 60°.

Плоскость α — это плоскость, в которой лежат прямые BK и CM. В предыдущем пункте мы доказали, что эта плоскость совпадает с плоскостью грани SAD.

Рассмотрим правильную шестиугольную пирамиду SABCDEF. Основание — правильный шестиугольник ABCDEF. Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из вершины S на плоскость основания.

Пусть O — центр основания. Тогда SO — высота пирамиды.

Угол между плоскостью грани SAD и плоскостью основания равен 60°.

В правильном шестиугольнике сторона AB = 6. Сторона основания правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности, т.е. AB = BC = CD = DE = EF = FA = 6.

Чтобы найти угол между плоскостью грани SAD и плоскостью основания, нам нужно провести перпендикуляры к линии пересечения этих плоскостей (которая является стороной основания, например AD) из точек, принадлежащих этим плоскостям.

В грани SAD, проведём апофему — высоту, опущенную из S на AD. Пусть это будет SH, где H — середина AD.

В плоскости основания, из точки H (середины AD), проведём перпендикуляр к AD. Это будет отрезок OH, который является апофемой основания.

Угол SHO = 60°.

В правильном шестиугольнике апофема основания OH = \( \frac{\sqrt{3}}{2} \times сторона \) = \( \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 \) = \( 3\sqrt{3} \).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник SOH. У нас есть:

• OH = \( 3\sqrt{3} \)
• \( \angle SHO = 60^{\circ} \)
• SO — высота пирамиды (то, что мы ищем).

Используем тангенс угла:

\( \tan(\angle SHO) = \frac{SO}{OH} \)

\( \tan(60^{\circ}) = \frac{SO}{3\sqrt{3}} \)

\( \sqrt{3} = \frac{SO}{3\sqrt{3}} \)

\( SO = \sqrt{3} \times 3\sqrt{3} \) = \( 3 \times 3 \) = 9.

Таким образом, высота пирамиды равна 9.

Ответ: высота пирамиды равна 9.