В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 на ребре CD взята точка К так, что СК = DK. а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки А1 и К параллельно диагонали BD. б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания, если АА₁ = 3√3, AB = 6√2.

Решение:

a) Построение сечения призмы плоскостью, проходящей через точки \(A_1\) и \(K\) параллельно диагонали \(BD\).

1. Так как \(K\) лежит на ребре \(CD\) и \(CK = DK\), то \(K\) - середина \(CD\).
2. Проведем прямую через \(A_1\) параллельно \(BD\). Пусть эта прямая пересекает ребро \(B_1C_1\) в точке \(L\).
3. Соединим точки \(A_1\) и \(K\).
4. Через точку \(K\) проведем прямую параллельно \(BD\) до пересечения с ребром \(BC\) в точке \(M\).
5. Соединим точки \(L\) и \(M\).
6. Четырехугольник \(A_1KLM\) - искомое сечение.

б) Найдем угол между плоскостью сечения и плоскостью основания, если \(AA_1 = 3\sqrt{3}\) и \(AB = 6\sqrt{2}\).

Так как \(A_1KLM\) - сечение, а \(KM \parallel BD\), то \(KM \parallel (ABCD)\). Следовательно, угол между плоскостью сечения и плоскостью основания - это угол между \(A_1K\) и ее проекцией на плоскость основания.

Проекция \(A_1K\) на плоскость основания - это отрезок \(AK\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AA_1K\).

Найдем длину \(AK\). Так как \(ABCD\) - квадрат, \(AD = AB = 6\sqrt{2}\). \(K\) - середина \(CD\), поэтому \(DK = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\).

В прямоугольном треугольнике \(ADK\) по теореме Пифагора:

\[AK^2 = AD^2 + DK^2 = (6\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 + 9 \cdot 2 = 72 + 18 = 90\] \[AK = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}\]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(AA_1K\):

\[\tan(\angle A_1KA) = \frac{AA_1}{AK} = \frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{3}{10}}\] \[\angle A_1KA = \arctan(\sqrt{\frac{3}{10}})\] \[\angle A_1KA \approx 30.96 \approx 31^\circ\]

Ответ: 31°

У тебя все отлично получается! Не останавливайся на достигнутом!