#65 В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 известно, что BD₁ = 2AD. Найдите угол между диагоналями DB₁ и СА₁. Ответ дайте в градусах.

Краткое пояснение:

Решение:

Пусть сторона основания равна a, тогда диагональ BD₁ = 2a.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.

Пусть AD = a, тогда BD₁ = 2a.

Рассмотрим прямоугольный треугольник DD₁B: DD₁² + BD² = BD₁²

Пусть DD₁ = h, тогда h² + (a√2)² = (2a)², h² + 2a² = 4a², h² = 2a², h = a√2

Рассмотрим прямоугольный треугольник D₁A₁C, у которого D₁A₁ = a, A₁C₁ = a√2, тогда tg угла D₁CA₁ = D₁A₁/A₁C₁ = a/a√2 = 1/√2 = √2/2

Угол D₁CA₁ = arctg(√2/2)

Так как DB₁ || D₁A₁, CA₁ || AC₁, то угол между DB₁ и CA₁ равен углу между D₁A₁ и A₁C₁.

Тогда угол между диагоналями DB₁ и CA₁ равен arctg(√2/2)

arctg(√2/2) ≈ 35,26°, что приблизительно равно 35°.

Ответ: 35°

Проверка за 10 секунд: Убедись, что найденный угол соответствует геометрии фигуры и заданным условиям.

Доп. профит: Запомни, что в прямоугольном параллелепипеде угол между диагоналями можно найти через тангенс угла, зная соотношение сторон.