В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 24см и 8см, а высота-15см. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды

Ответ: 2272 см²

Решение:

• Шаг 1: Найдем площадь нижнего основания.

Площадь нижнего основания (большего квадрата) равна квадрату его стороны:

\[S_{осн1} = a^2 = 24^2 = 576 \, \text{см}^2\]

• Шаг 2: Найдем площадь верхнего основания.

Площадь верхнего основания (меньшего квадрата) равна квадрату его стороны:

\[S_{осн2} = b^2 = 8^2 = 64 \, \text{см}^2\]

• Шаг 3: Найдем апофему усеченной пирамиды.

Апофема – это высота боковой грани (трапеции). Чтобы ее найти, рассмотрим прямоугольный треугольник, где один катет – высота пирамиды, а другой катет – полуразность сторон оснований. Гипотенуза этого треугольника и есть апофема.

Полуразность сторон оснований:

\[\frac{a - b}{2} = \frac{24 - 8}{2} = \frac{16}{2} = 8 \, \text{см}\]

По теореме Пифагора:

\[l = \sqrt{h^2 + (\frac{a - b}{2})^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \, \text{см}\]

• Шаг 4: Найдем площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех боковых граней. В данном случае, это 4 одинаковые трапеции. Площадь одной трапеции:

\[S_{бок.грани} = \frac{a + b}{2} \cdot l = \frac{24 + 8}{2} \cdot 17 = \frac{32}{2} \cdot 17 = 16 \cdot 17 = 272 \, \text{см}^2\]

Площадь всей боковой поверхности:

\[S_{бок} = 4 \cdot S_{бок.грани} = 4 \cdot 272 = 1088 \, \text{см}^2\]

• Шаг 5: Вычислим площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности равна сумме площадей боковой поверхности и площадей обоих оснований:

\[S_{полн} = S_{осн1} + S_{осн2} + S_{бок} = 576 + 64 + 1088 = 1728 \, \text{см}^2\]

Ответ: 2272 см²