В правильном шестиугольнике отметили середины противоположных сторон. Каждую из отмеченных точек соединили с противоположными вершинами. Площадь серого четырёхугольника равна 10. Чему равна площадь исходного шестиугольника?

Решение:

Рассмотрим правильный шестиугольник. Если соединить середины противоположных сторон с противоположными вершинами, то шестиугольник разделится на 6 равных треугольников. Центральный четырёхугольник (который закрашен серым) состоит из двух таких треугольников, обращённых друг к другу вершинами.

Площадь серого четырёхугольника равна 10. Этот четырёхугольник состоит из двух равных треугольников, являющихся частями исходного шестиугольника.

Таким образом, площадь каждого из этих двух треугольников равна \( 10 / 2 = 5 \).

Весь правильный шестиугольник состоит из 6 таких треугольников.

Общая площадь шестиугольника равна площади серого четырёхугольника плюс площади оставшихся четырёх треугольников.

Площадь оставшихся четырёх треугольников равна \( 4 × 5 = 20 \).

Общая площадь шестиугольника равна \( 10 + 20 = 30 \).

Также можно заметить, что серый четырёхугольник занимает \( 2 \) из \( 6 \) центральных треугольников, если мы разделим шестиугольник на 6 больших треугольников, исходящих из центра. В нашем случае, серый ромб занимает \( 2 \) сектора из \( 6 \) равных секторов, на которые делится шестиугольник, при соединении вершин с центром. Таким образом, площадь ромба составляет \( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) от площади всего шестиугольника.

Если площадь серого четырёхугольника равна 10, то площадь всего шестиугольника равна \( 10 × 3 = 30 \).

Ответ: 30.