В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 10 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 11, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в два раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе?

Пусть $$x$$ - количество мышек, которые пришли в первую ночь. Тогда каждая мышка съела $$\frac{10}{x}$$ сыра.

Во вторую ночь пришли 11 мышек, и каждая съела в 2 раза меньше, то есть $$\frac{1}{2} \cdot \frac{10}{x} = \frac{5}{x}$$ сыра. Всего они съели $$11 \cdot \frac{5}{x} = \frac{55}{x}$$ сыра.

Так как во вторую ночь доели оставшийся сыр, то общее количество съеденного сыра равно $$10 + \frac{55}{x}$$. Изначально было $$10 + \frac{55}{x}$$ головок сыра. Поскольку каждая мышка съела в два раза меньше во вторую ночь, то общее количество съеденного сыра во вторую ночь должно быть меньше, чем в первую. Это означает, что $$x$$ должно быть больше 11. Если предположить, что $$x$$ - целое число, то $$x$$ может быть 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55. Если $$x=55$$, то каждая мышка съела $$\frac{10}{55} = \frac{2}{11}$$ сыра в первую ночь. Во вторую ночь каждая мышка съела $$\frac{5}{55} = \frac{1}{11}$$ сыра. Всего во вторую ночь съели $$11 \cdot \frac{1}{11} = 1$$ головку сыра. Тогда всего было $$10 + 1 = 11$$ головок сыра. Проверим: если было 11 головок сыра, то в первую ночь съели 10 головок, осталось 1. Во вторую ночь пришли 11 мышек и съели 1 головку сыра, каждая съела $$\frac{1}{11}$$ сыра. В первую ночь, если бы пришло 55 мышек, каждая бы съела $$\frac{10}{55} = \frac{2}{11}$$ сыра. $$\frac{1}{11}$$ в два раза меньше, чем $$\frac{2}{11}$$. Значит, $$x=55$$. Изначально было $$10 + 1 = 11$$ головок сыра.

Ответ: 11