В параллелограмме ABCD точка K является серединой стороны AD, а точка P делит сторону BC в отношении 3:1, считая от точки B. Выразите векторы AP, BK, KP через векторы a = BA и b = BC. 2. Известно, что m {8:-2}. n {1; -2}. Найдите координаты вектора р = 1/2 m - 3 n. 3. Упростите выражение: а) PQ+EF+ AE+ QA б) (EF+ (PE+ FQ))+ AA. в) (CB + AC + BD) - (MK+KD) г) 3(4а - 3b) - 7b д) 4(5q - 2p) – 5(7p + 6,4q) 4. Даны координаты вершин треугольника MNK: M(-4:1), N(0;1), К(-2; 4) (2 балла) а) Найдите длину медианы КР. б) Докажите, что треугольник MNK - равнобедренный и найдите его площадь.

Вариант 6 1. В параллелограмме ABCD точка K является серединой стороны AD, а точка P делит сторону BC в отношении 3:1, считая от точки B. Выразите векторы \(\overrightarrow{AP}\), \(\overrightarrow{BK}\), \(\overrightarrow{KP}\) через векторы \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{BC}\). Давай разберем по порядку. * Выразим вектор \(\overrightarrow{AP}\) через векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\): \(\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BP} = -\overrightarrow{a} + \frac{3}{4}\overrightarrow{b}\) * Выразим вектор \(\overrightarrow{BK}\) через векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\): \(\overrightarrow{BK} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b}\) * Выразим вектор \(\overrightarrow{KP}\) через векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\): \(\overrightarrow{KP} = \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AP} = -\overrightarrow{BK} - \overrightarrow{a} + \overrightarrow{AP} = -(\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b}) - \overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{a} + \frac{3}{4}\overrightarrow{b}) = -3\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b}\) 2. Известно, что \(\overrightarrow{m} = \{8; -2\}\), \(\overrightarrow{n} = \{1; -2\}\). Найдите координаты вектора \(\overrightarrow{p} = \frac{1}{2}\overrightarrow{m} - 3\overrightarrow{n}\). Найдем координаты вектора \(\overrightarrow{p}\): \(\overrightarrow{p} = \frac{1}{2}\overrightarrow{m} - 3\overrightarrow{n} = \frac{1}{2}\{8; -2\} - 3\{1; -2\} = \{4; -1\} - \{3; -6\} = \{4-3; -1 - (-6)\} = \{1; 5\}\) 3. Упростите выражение: а) \(\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{QA}\) \(\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{QA} = \overrightarrow{PQ} + (\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{AE}) + \overrightarrow{QA} = \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{QA} = \overrightarrow{PQ} + (\overrightarrow{AF} + \overrightarrow{FQ}) = \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QP} = \overrightarrow{PP} = \overrightarrow{0}\) б) \((\overrightarrow{EF} + (\overrightarrow{PE} + \overrightarrow{FQ})) + \overrightarrow{AA}\) \((\overrightarrow{EF} + (\overrightarrow{PE} + \overrightarrow{FQ})) + \overrightarrow{AA} = (\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{PQ}) + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{PQ}\) в) \((\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}) - (\overrightarrow{MK} + \overrightarrow{KD})\) \((\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}) - (\overrightarrow{MK} + \overrightarrow{KD}) = (\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}) - \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BM}\) г) \(3(4\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}) - 7\overrightarrow{b}\) \(3(4\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}) - 7\overrightarrow{b} = 12\overrightarrow{a} - 9\overrightarrow{b} - 7\overrightarrow{b} = 12\overrightarrow{a} - 16\overrightarrow{b}\) д) \(4(5\overrightarrow{q} - 2\overrightarrow{p}) - 5(7\overrightarrow{p} + 6.4\overrightarrow{q})\) \(4(5\overrightarrow{q} - 2\overrightarrow{p}) - 5(7\overrightarrow{p} + 6.4\overrightarrow{q}) = 20\overrightarrow{q} - 8\overrightarrow{p} - 35\overrightarrow{p} - 32\overrightarrow{q} = -12\overrightarrow{q} - 43\overrightarrow{p}\) 4. Даны координаты вершин треугольника MNK: M(-4; 1), N(0; 1), K(-2; 4). а) Найдите длину медианы КР. Точка P - середина MN. Найдем координаты точки P: \(P(\frac{-4 + 0}{2}; \frac{1 + 1}{2}) = P(-2; 1)\) Найдем длину медианы KP: \(KP = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{0 + 9} = 3\) б) Докажите, что треугольник MNK - равнобедренный и найдите его площадь. Найдем длины сторон треугольника: \(MN = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{16} = 4\) \(NK = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\) \(MK = \sqrt{(-4 - (-2))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\) Так как NK = MK, то треугольник MNK - равнобедренный. Найдем площадь треугольника: Высота, проведенная к стороне MN, проходит через середину MN (точку P). Длина этой высоты равна KP = 3. Тогда площадь треугольника равна: \(S = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot KP = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6\)

Ответ:

Вот и все! Ты отлично справился с заданиями! У тебя все получится, если будешь продолжать в том же духе!