В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, ∠BAC = ∠BCA = 53°. 1) Какое из следующих утверждений верно? ДАВС - равносторонний. ДАВС - равнобедренный. ДАВС - тупоугольный. 2) Найдите ∠CDO. Ответ дайте в градусах. Введите целое число или десятичную дробь...

Решение:

В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Дано, что \( \angle BAC = \angle BCA = 53° \).

1) Рассмотрим \( \triangle ABC \). Так как \( \angle BAC = \angle BCA = 53° \), то \( \triangle ABC \) является равнобедренным треугольником с основанием AC.

Сумма углов в \( \triangle ABC \): \( \angle ABC = 180° - (\angle BAC + \angle BCA) = 180° - (53° + 53°) = 180° - 106° = 74° \).

Все углы \( \triangle ABC \) меньше 90°, следовательно, он остроугольный.

Утверждение: \( \triangle ABC \) - равнобедренный.

2) В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, и эта точка делит диагонали пополам, то есть \( AO = OC \) и \( BO = OD \).

Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный с \( AB = BC \) (поскольку \( \angle BAC = \angle BCA \)), то параллелограмм ABCD является ромбом.

В ромбе диагонали перпендикулярны, значит, \( \angle COD = 90° \).

В \( \triangle COD \) имеем \( OC = AO \) и \( OD = BO \).

Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный с \( AB = BC \), то \( \triangle ADC \) также равнобедренный с \( AD = CD \).

Рассмотрим \( \triangle BCD \). \( \angle BCD = \angle BAD \). \( \angle BCD = 180° - \angle BCA = 180° - 53° = 127° \) (это угол параллелограмма, смежный с \( \angle BCA \) в \( \triangle ABC \)).

В \( \triangle BCD \): \( \angle CBD = \angle ADB \) (как накрест лежащие углы при \( AB \parallel CD \) и секущей BD). \( \angle CDB = \angle BAC = 53° \) (как накрест лежащие углы при \( AD \parallel BC \) и секущей AC).

Таким образом, в \( \triangle BCD \): \( \angle BCD = 180° - \angle BAC - \angle CDB = 180° - 53° - 53° = 74° \). Это противоречит тому, что \( \angle BCD \) является углом параллелограмма.

Вернемся к тому, что \( \angle BAC = \angle BCA = 53° \). Это означает, что \( \triangle ABC \) равнобедренный с \( AB = BC \). Если параллелограмм имеет две смежные стороны равными, то это ромб.

В ромбе диагонали перпендикулярны. Значит \( \angle COD = 90° \).

Рассмотрим \( \triangle COD \). \( OC = \frac{1}{2} AC \) и \( OD = \frac{1}{2} BD \).

В ромбе \( \angle BCD = 180° - 74° = 106° \). \( \angle CDB = \angle CAD = 53° \) (накрест лежащие углы).

В \( \triangle COD \) имеем: \( \angle ODC = \angle CDB = 53° \) (потому что \( O \) лежит на \( AC \), а \( D \) на \( BD \)).

\( \angle OCD = \angle ACD \). Угол \( \angle ACB = 53° \), значит \( \angle ACD = \angle BCD - \angle ACB = 106° - 53° = 53° \).

В \( \triangle COD \): \( \angle COD = 180° - \angle ODC - \angle OCD = 180° - 53° - 53° = 74° \).

Это снова противоречит тому, что в ромбе диагонали перпендикулярны.

Давайте пересмотрим условие: \( \angle BAC = \angle BCA = 53° \) в \( \triangle ABC \). Это значит, что \( AB=BC \).

В параллелограмме ABCD, \( AB \parallel CD \) и \( AD \parallel BC \).

\( \angle CAD = \angle BCA = 53° \) (как накрест лежащие углы при \( AD \parallel BC \) и секущей AC).

\( \angle ACD = \angle BAC = 53° \) (как накрест лежащие углы при \( AB \parallel CD \) и секущей AC).

В \( \triangle ADC \): \( \angle ADC = 180° - (\angle CAD + \angle ACD) = 180° - (53° + 53°) = 180° - 106° = 74° \).

\( \angle ADC \) и \( \angle ABC \) — противоположные углы параллелограмма, поэтому \( \angle ABC = \angle ADC = 74° \). Это совпадает с нашим предыдущим расчётом.

\( \angle BCD = \angle BAD = 180° - 74° = 106° \).

Нам нужно найти \( \angle CDO \). \( \angle CDO \) — это \( \angle CDA \) (или \( \angle ADC \)).

\( \angle CDO \) является частью \( \triangle COD \). \( \angle ODC \) — это и есть \( \angle CDO \).

Мы нашли, что \( \angle ADC = 74° \).

В \( \triangle COD \), \( OD = BO \) и \( OC = AO \).

Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный с \( AB = BC \), то параллелограмм является ромбом.

В ромбе диагонали перпендикулярны, \( \angle DOC = 90° \).

В \( \triangle COD \): \( \angle OCD = \angle CAD = 53° \) (накрест лежащие углы).

\( \angle ODC = \angle BAC = 53° \) (накрест лежащие углы).

\( \angle DOC = 180° - (53° + 53°) = 180° - 106° = 74° \).

Это снова противоречие, потому что в ромбе диагонали перпендикулярны.

Давайте ещё раз посмотрим на \( \triangle ADC \).

\( \angle CAD = 53° \) (так как \( AD \parallel BC \) и \( AC \) — секущая).

\( \angle ACD = 53° \) (так как \( AB \parallel CD \) и \( AC \) — секущая).

Значит \( \triangle ADC \) равнобедренный с \( AD = CD \).

Если в параллелограмме смежные стороны равны, то это ромб.

В ромбе диагонали перпендикулярны, то есть \( \angle COD = 90° \).

Рассмотрим \( \triangle COD \).

\( \angle ODC \) — это и есть \( \angle CDO \).

\( \angle OCD = \angle CAD = 53° \) (как накрест лежащие углы).

В \( \triangle COD \): \( \angle ODC = 180° - \angle COD - \angle OCD = 180° - 90° - 53° = 37° \).

Ответ: 37