В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, ∠BAC = ∠BCA = 40°. 1) Какое из следующих утверждений верно? △ABC — равносторонний; △ABC — равнобедренный; △ABC — остроугольный. 2) Найдите ∠CDO. Ответ дайте в градусах.

1) В треугольнике ABC равны углы при вершинах A и C: ∠BAC = ∠BCA = 40°. Значит, противолежащие им стороны BC и AB равны, поэтому треугольник равнобедренный. Его третий угол равен 180° − 40° − 40° = 100°, следовательно, треугольник не остроугольный и не равносторонний.

Ответ: верно утверждение «△ABC — равнобедренный».

2) Угол ABC равен 100°, а соседний с ним угол BCD параллелограмма равен 180° − 100° = 80°. Поскольку O лежит на диагонали AC, ∠ACB = 40°. Тогда ∠ACD = ∠BCD − ∠ACB = 80° − 40° = 40°.

В треугольнике ACD угол CAD равен углу BAC: AD ∥ BC, поэтому ∠CAD = 40°. Следовательно, ∠CDA = 180° − 40° − 40° = 100°. Точка O лежит на диагонали BD, значит, ∠CDO = ∠CDB. В треугольнике BCD угол CBD равен углу ACD, так как BD — та же прямая, что DO, а также можно использовать параллельность AB ∥ CD: ∠CDB = ∠ABD; прямой расчёт в треугольнике BCD даёт ∠CBD = ∠ACD = 40°, поэтому ∠CDB = 180° − 80° − 40° = 60°.

Ответ: 60°.