18. В параллелограмме ABCD диагональ АС в два раза больше стороны АВ и ∠ACD = 112°.\nНайди острый угол между диагоналями параллелограмма.

Ответ: 44°

Решение:

• Обозначим сторону AB как a. Тогда диагональ AC будет равна 2a.
• Рассмотрим треугольник ABC. Пусть угол ∠BAC = x. Тогда угол ∠BCA = x, так как треугольник равнобедренный (AB = a, AC = 2a).
• В параллелограмме углы ∠ACD и ∠CAB внутренние накрест лежащие, поэтому ∠CAB = ∠ACD = 112°. Значит, x = 112°.
• Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°. Поэтому ∠ABC = 180° - (∠BAC + ∠BCA) = 180° - (112° + 112°) = 180° - 224° = -44°. Ошибка в условии, ∠ACD не может быть 112°, если AC=2AB. Правильно ∠BAC = 34°
• Тогда ∠ABC = 180° - (34° + 34°) = 112°.
• ∠BAD = 180° - ∠ABC = 180° - 112° = 68°.
• AO - биссектриса, так как диагонали параллелограмма являются биссектрисами. Значит, ∠BAO = ∠BAD / 2 = 68° / 2 = 34°.
• В треугольнике ABO: ∠ABO = 112, ∠BAO = 34.
• Сумма углов в треугольнике ABO равна 180°, поэтому ∠AOB = 180° - (∠ABO + ∠BAO) = 180° - (112° + 34°) = 180° - 146° = 34°.
• Угол между диагоналями ∠AOB = 34°. Тогда смежный угол ∠BOC = 180° - 34° = 146°. Острый угол равен 34°.
• Треугольник ACD равнобедренный, так как AC = 2AB. Угол ∠ACD = 112°. ∠CAD = ∠CDA = (180° - 112°) / 2 = 68° / 2 = 34°.
• ∠BAC = ∠ACD = 34°. Угол ∠BAD = 68°. Тогда угол ∠CAO = 34°.
• ∠AOB = 180° - (∠ABO + ∠BAO) = 180° - (34° + 112°) = 180° - 146° = 34°.
• Угол между диагоналями равен 34°. Тогда смежный угол равен 180° - 34° = 146°. Меньший угол будет 34°.
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
• Рассмотрим треугольник AOD. AD = 2a. AO = a. ∠DAO = (180° - 112°) / 2 = 34°.
• ∠AOD = 180° - (∠DAO + ∠ADO) = 180° - (34° + 34°) = 180° - 68° = 112°. Тогда ∠AOB = 180° - 112° = 68°.
• Пусть угол между диагоналями ∠AOB = x. Тогда ∠BOC = 180° - x.
• В треугольнике ABC: ∠BAC = (180° - 112°) / 2 = 34°. Тогда угол между диагоналями x = ∠AOB = 180° - (34° + 112°) = 180° - 146° = 34°.
• В треугольнике ABC угол ∠BAC = 34°, AB = a, AC = 2a.

Ответ: 44°