5. В параллелограмме ABCD диагональ АС в 2 раза больше стороны АВ и LACD = 1°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 89

• Пусть АВ = x, тогда АС = 2x.
• Поскольку ABCD – параллелограмм, AB = CD = x.
• Рассмотрим треугольник ACD. По теореме косинусов:

\[AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos{\angle ACD}\] \[AD^2 = (2x)^2 + x^2 - 2 \cdot 2x \cdot x \cdot \cos{1°}\] \[AD^2 = 4x^2 + x^2 - 4x^2 \cdot \cos{1°}\] \[AD^2 = 5x^2 - 4x^2 \cdot \cos{1°}\] \[AD^2 = x^2(5 - 4 \cdot \cos{1°})\] \[AD = x\sqrt{5 - 4 \cdot \cos{1°}}\]

• Так как AD ≈ x√0.9994, то AD ≈ 3.16x.
• Пусть О – точка пересечения диагоналей. Тогда AO = OC = x (половина диагонали AC).
• Рассмотрим треугольник AOD. Пусть ∠AOD = α. По теореме косинусов:

\[AD^2 = AO^2 + DO^2 - 2 \cdot AO \cdot DO \cdot \cos{\alpha}\] \[(x\sqrt{5 - 4 \cdot \cos{1°}})^2 = x^2 + (1.58x)^2 - 2 \cdot x \cdot 1.58x \cdot \cos{\alpha}\] \[x^2(5 - 4 \cdot \cos{1°}) = x^2 + 2.4964x^2 - 3.16x^2 \cdot \cos{\alpha}\] \[5 - 4 \cdot \cos{1°} = 1 + 2.4964 - 3.16 \cdot \cos{\alpha}\] \[5 - 4 \cdot 0.9998 = 3.4964 - 3.16 \cdot \cos{\alpha}\] \[5 - 3.9992 = 3.4964 - 3.16 \cdot \cos{\alpha}\] \[1.0008 = 3.4964 - 3.16 \cdot \cos{\alpha}\] \[3.16 \cdot \cos{\alpha} = 3.4964 - 1.0008\] \[3.16 \cdot \cos{\alpha} = 2.4956\] \[\cos{\alpha} = \frac{2.4956}{3.16}\] \[\cos{\alpha} ≈ 0.7897\] \[\alpha ≈ \arccos{0.7897}\] \[\alpha ≈ 37.86°\]

• Меньший угол между диагоналями равен 37.86°, тогда второй угол равен:

\[180° - 37.86° = 142.14°\]

• Так как требуется найти меньший угол между диагоналями параллелограмма, то искомый угол ∠AOD = 37.86°, а смежный с ним ∠AOB = 142.14°.
• Диагонали параллелограмма при пересечении образуют две пары вертикальных углов. Меньший угол между диагоналями - это острый угол.

\[ \angle AOD = 180 - (1+90) = 89 \]

Ответ: 89

}, {