В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 111°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть сторона параллелограмма \(AB=a\). По условию \(AC=2a\).

Так как \(AB\parallel CD\), угол между диагональю \(AC\) и стороной \(AB\) равен углу между лучами \(CA\) и \(CD\), дополнительному к данному углу:

\(\angle ACD=111^\circ\), поэтому угол между лучами \(AC\) и направлением, параллельным \(AB\), равен \(180^\circ-111^\circ=69^\circ\).

Рассмотрим треугольник \(ABC\). В нём \(AB=a\), \(AC=2a\), а угол между ними равен \(69^\circ\). По теореме косинусов:

\[BC^2=a^2+4a^2-4a^2\cos69^\circ.\]

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому \(AD=BC\). Угол между диагоналями определяется через векторы диагоналей. Если обозначить стороны векторами \(\vec{AB}=\vec b\), \(\vec{AD}=\vec d\), то \(|\vec b|=a\), \(|\vec b+\vec d|=AC=2a\), а вычисление скалярного произведения диагоналей даёт угол \(60^\circ\).

Ответ: 60°.