В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 19°. Найдите наименьший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть сторона AB = x, тогда диагональ AC = 2x.

Рассмотрим треугольник ABC. Пусть угол BAC = α.

Применим теорему синусов:

$$\frac{BC}{\sin α} = \frac{AC}{\sin ∠ABC}$$

Так как BC = AD = AB = x, получим:

$$\frac{x}{\sin α} = \frac{2x}{\sin ∠ABC}$$

$$\sin ∠ABC = 2 \sin α$$

∠ABC = 180° - ∠BAD = 180° - α - 19° = 161° - α.

$$\sin (161° - α) = 2 \sin α$$

$$\sin 161° \cos α - \cos 161° \sin α = 2 \sin α$$

$$\sin 161° \cos α = (2 + \cos 161°) \sin α$$

$$\tan α = \frac{\sin 161°}{2 + \cos 161°}$$

$$\tan α = \frac{\sin (180°-19°)}{2 + \cos (180°-19°)}$$

$$\tan α = \frac{\sin 19°}{2 - \cos 19°}$$

Используя калькулятор, найдем приблизительное значение:

$$\tan α ≈ \frac{0.3256}{2 - 0.9455} ≈ \frac{0.3256}{1.0545} ≈ 0.3088$$

$$α ≈ \arctan(0.3088) ≈ 17.16°$$

Рассмотрим треугольник AOB, где O - точка пересечения диагоналей.

Угол BAO ≈ 17.16°, угол AOB = φ.

Пусть O - точка пересечения диагоналей, тогда AO = OC, BO = OD.

Рассмотрим треугольник AOC, он равнобедренный, т.к. AO=OC, то углы OAC и OCA равны.

∠OCA = ∠ACD = 19°.

∠AOC = 180° - 2 * 19° = 180° - 38° = 142°.

Смежный угол ∠AOB = 180° - 142° = 38°.

Ответ: 38