8. В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 14. Запишите решение и ответ.

8. Найдем периметр параллелограмма ABCD:

Биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке M, угол A = 60°, следовательно, угол BAM = углу MAD = 30°.

Отрезки AM и DM перпендикулярны, значит угол AMD = 90°.

Рассмотрим треугольник AMD: угол MAD = 30°, угол AMD = 90°, следовательно, угол ADM = 180° - 90° - 30° = 60°.

Рассмотрим треугольник ABM: угол BAM = 30°, угол ABM = 180° - 60° = 120° (так как сумма углов, прилежащих к одной стороне в параллелограмме, равна 180°), следовательно, угол AMB = 180° - 120° - 30° = 30°.

Так как угол BAM = углу AMB = 30°, то треугольник ABM - равнобедренный, значит AB = BM = 14.

Рассмотрим треугольник ADM: угол ADM = 60°, угол MAD = 30°, следовательно, угол AMD = 90°.

Так как угол ADM = 60°, угол CDM = угол ADM - угол ADC = 120° - 60° = 60°.

Треугольник AMD - прямоугольный, угол MAD = 30°, значит AD = 2 * AM.

Рассмотрим параллелограмм ABCD: BC = BM + MC, AD = BC, BM = 14.

MC = AD, следовательно, BC = 14 + AD.

Так как AD = 2 * AM, то BC = 14 + 2 * AM.

Рассмотрим треугольник ABM: угол BAM = углу AMB = 30°, значит AM = AB = 14.

AD = BC = 14 + 2 * 14 = 14 + 28 = 42.

Периметр параллелограмма ABCD равен P = 2 * (AB + AD) = 2 * (14 + 42) = 2 * 56 = 112.

Ответ: 112