В параллелограмме $$ABCD$$ биссектриса угла $$A$$, равного $$60^\circ$$, пересекает сторону $$BC$$ в точке $$M$$. Отрезки $$AM$$ и $$DM$$ перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если $$AB = 10$$. Запишите решение и ответ.

Question

Вопрос:

В параллелограмме $$ABCD$$ биссектриса угла $$A$$, равного $$60^\circ$$, пересекает сторону $$BC$$ в точке $$M$$. Отрезки $$AM$$ и $$DM$$ перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если $$AB = 10$$. Запишите решение и ответ.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

1. Так как $$AM$$ - биссектриса угла $$A$$, то $$\angle BAM = \angle MAD = \frac{1}{2} \angle A = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$$.

2. В треугольнике $$AMD$$ известно, что $$\angle AMD = 90^\circ$$, так как $$AM \perp DM$$. Тогда $$\angle ADM = 180^\circ - \angle AMD - \angle MAD = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$$.

3. Так как $$ABCD$$ - параллелограмм, то $$BC \parallel AD$$. Следовательно, $$\angle BMA = \angle MAD = 30^\circ$$ как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $$BC$$ и $$AD$$ и секущей $$AM$$.

4. Рассмотрим треугольник $$ABM$$. В нём $$\angle BAM = 30^\circ$$ и $$\angle BMA = 30^\circ$$. Значит, треугольник $$ABM$$ - равнобедренный с основанием $$AM$$, и $$AB = BM = 10$$.

5. Так как $$ABCD$$ - параллелограмм, то $$\angle B + \angle A = 180^\circ$$. Значит, $$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$.

6. Рассмотрим треугольник $$CDM$$. В нём $$\angle CDM = \angle ADC - \angle ADM$$. Так как $$ABCD$$ - параллелограмм, то $$\angle ADC = \angle ABC = 120^\circ$$. Следовательно, $$\angle CDM = 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ$$. $$\angle DMC = 180^\circ - \angle AMD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$$. Тогда $$\angle MCD = 180^\circ - \angle CDM - \angle DMC = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ$$.

7. В треугольнике $$CDM$$ напротив угла в $$30^\circ$$ лежит катет $$CD$$. Тогда $$CD = \frac{DM}{2}$$. Также, $$BC = AD$$, $$AD = AM+MD$$.

8. Так как $$ABCD$$ - параллелограмм, то $$AD = BC$$. Также $$BC = BM + MC$$.

9. Рассмотрим треугольник $$CDM$$. В нём $$\angle CDM = 60^\circ$$. Тогда $$\cos(\angle CDM) = \frac{DM}{CD}$$. Так как $$DM = CD / 2$$ и $$\angle CDM = 60^\circ$$, то $$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$$. Получается, что $$\frac{1}{2} = \frac{MC}{CD}$$, тогда $$CD = 2MC$$.

10. $$AD = BC = BM + MC = 10 + MC$$. $$CD = AB = 10$$, $$CD = 2MC$$, тогда $$10 = 2MC$$, следовательно $$MC = 5$$.

11. $$AD = BC = BM + MC = 10 + 5 = 15$$.

12. Периметр параллелограмма равен $$2 \cdot (AB + AD) = 2 \cdot (10 + 15) = 2 \cdot 25 = 50$$.

Ответ: 50