В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Оказалось, что AH = BC + CH и угол ABC равен 75°. Найдите остальные углы треугольника ABC. 1. Сколько градусов составляет угол BAC?

Обозначим ∠BAC = α, ∠BCA = γ, а длину BH — через h. Так как BH — высота, треугольники ABH и CBH прямоугольные.

Из треугольника ABH: AH = h · cot α. Из треугольника CBH: CH = h · cot γ, BC = h · csc γ.

Подставим эти выражения в условие AH = BC + CH и разделим на h:

cot α = csc γ + cot γ = cot(γ/2).

Поскольку α и γ/2 острые, из равенства котангенсов следует α = γ/2. Кроме того, α + γ = 180° − 75° = 105°. Поэтому 3α = 105°.

Ответ: 35