В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Известно, что AH = BC + CH и ∠ABC = 75°. Сколько градусов составляет угол BAC?

Обозначим ∠BAC = A, ∠BCA = C. Так как ∠ABC = 75°, то A + C = 105°.

Из прямоугольных треугольников ABH и BCH: AH = AB · cos A, CH = BC · cos C. По теореме синусов AB / BC = sin C / sin A, поэтому AH / BC = sin C · cot A.

По условию AH / BC = 1 + cos C. Следовательно, sin C · cot A = 1 + cos C, откуда cot A = (1 + cos C) / sin C = cot(C / 2). Поскольку углы острые, A = C / 2.

Тогда 3A = 105°, поэтому ∠BAC = 35°.