320. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота AR. Докажите, что периметр треугольника ARC меньше периметра треугольника ABC.

Задача 320: Доказательство. 1. **Понимание периметра:** Периметр треугольника - это сумма длин всех его сторон. То есть, периметр треугольника ARC равен AR + RC + AC, а периметр треугольника ABC равен AB + BC + AC. 2. **Сравнение сторон:** Нам нужно доказать, что AR + RC + AC < AB + BC + AC. Из этого неравенства можно вычесть AC из обеих частей, и тогда нам нужно доказать, что AR + RC < AB + BC. 3. **Использование свойств высоты:** AR - это высота, опущенная из вершины A на сторону BC. Значит, AR перпендикулярна BC, и треугольники ARB и ARC - прямоугольные. 4. **Сравнение в прямоугольных треугольниках:** В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше катета. Значит, AB > AR (в треугольнике ARB) и AC > RC (в треугольнике ARC). 5. **Ключевой момент:** Рассмотрим разницу между BC и RC. BC = BR + RC. Значит, нам нужно доказать, что AR + RC < AB + BR + RC. 6. **Финальное доказательство:** Мы знаем, что AB > AR. Теперь надо доказать, что BR > 0. Так как AR - высота, а ABC - остроугольный, точка R лежит между B и C (то есть, внутри отрезка BC, а не на его продолжении). Следовательно, BR > 0. Таким образом, мы имеем: AB > AR и BR > 0. Сложив эти два неравенства, получаем AB + BR > AR. Добавим RC к обеим частям: AB + BR + RC > AR + RC, что эквивалентно AB + BC > AR + RC. Добавив AC к обеим частям, получаем AB + BC + AC > AR + RC + AC, что означает, что периметр треугольника ABC больше периметра треугольника ARC. Что и требовалось доказать.