1) В основании пирамиды лежит треугольник со стороной, равной а, и противолежащим ей углом 135°. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите высоту пирамиды. 2) В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 6 и 3 см. Высота пирамиды равна √13 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Задача 1

Смотри, тут всё просто: высота пирамиды может быть найдена через радиус описанной окружности основания и угол наклона боковых ребер.

• Радиус описанной окружности для треугольника можно выразить через сторону и синус противолежащего угла:

\[R = \frac{a}{2 \sin(135^\circ)} = \frac{a}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}\]

• Теперь, когда у нас есть радиус, можем найти высоту пирамиды, используя тангенс угла наклона боковых ребер:

\[H = R \cdot \tan(60^\circ) = \frac{a}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{3} = a\sqrt{\frac{3}{2}}\]

Ответ: Высота пирамиды равна \[a\sqrt{\frac{3}{2}}\]

Задача 2

Разбираемся:

• В правильной треугольной усеченной пирамиде боковые грани – равнобокие трапеции. Площадь боковой поверхности – это сумма площадей этих трапеций.
• Для начала найдем апофему (высоту боковой грани) усеченной пирамиды. Опустим высоту из вершины меньшего основания на большее. Получим прямоугольный треугольник, где катет – высота пирамиды, а другой катет – половина разности сторон оснований:

\[\frac{6 - 3}{2} = 1.5\]

• Теперь по теореме Пифагора найдем апофему:

\[l = \sqrt{(\sqrt{13})^2 + (1.5)^2} = \sqrt{13 + 2.25} = \sqrt{15.25} = \frac{\sqrt{61}}{2}\]

• Площадь одной боковой грани (трапеции) равна полусумме оснований, умноженной на высоту (апофему):

\[S_{трап} = \frac{6 + 3}{2} \cdot \frac{\sqrt{61}}{2} = \frac{9\sqrt{61}}{4}\]

• Так как у пирамиды 3 боковые грани, общая площадь боковой поверхности:

\[S_{бок} = 3 \cdot \frac{9\sqrt{61}}{4} = \frac{27\sqrt{61}}{4}\]

Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна \[\frac{27\sqrt{61}}{4}\] см²