1.2.3. В основании пирамиды FABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами 3 и 4. Ребро BF перпендикулярно плоскости основания. Найдите высоту пирамиды, если рас- стояние от точки F до диагонали прямоугольника АС рано 2,5.

Давай разберем эту задачу по геометрии. Нам нужно найти высоту пирамиды FABCD, зная, что основание ABCD - прямоугольник со сторонами 3 и 4, ребро BF перпендикулярно основанию, и расстояние от точки F до диагонали AC равно 2,5. 1. Основание пирамиды: * ABCD - прямоугольник, где AB = 3 и BC = 4. 2. Диагональ прямоугольника: * Найдем диагональ AC, используя теорему Пифагора для треугольника ABC: \[AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\] 3. Расстояние от точки до диагонали: * Расстояние от точки F до диагонали AC равно 2,5. 4. Высота пирамиды: * Обозначим высоту пирамиды как BF = h. 5. Площадь треугольника AFC: * Площадь треугольника AFC можно найти двумя способами: * Как половину произведения основания AC на высоту (расстояние от F до AC): \[S_{AFC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot 2.5 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2.5 = 6.25\] * Выразить площадь через высоту пирамиды BF = h и сторону AC. Для этого нужно найти расстояние от точки F до диагонали AC в плоскости основания. Так как BF перпендикулярно плоскости основания, то треугольник BFA - прямоугольный. Расстояние от точки F до AC будет высотой этого треугольника, опущенной из вершины F на гипотенузу AC. 6. Рассмотрим треугольник ABC: * Его площадь равна половине произведения сторон AB и BC: \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\] 7. Связь площади и высоты: * Теперь рассмотрим пирамиду FABC. Ее объем можно выразить как: \[V_{FABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot BF = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot h = 2h\] 8. Другой подход к объему: * Также, объем пирамиды FABC можно выразить через площадь треугольника AFC и расстояние от точки B до плоскости AFC. Так как BF перпендикулярно плоскости основания, то расстояние от B до плоскости AFC можно найти через площадь треугольника ABC и расстояние от точки F до AC. 9. Высота из B до AC: * Найдем высоту из B до AC в треугольнике ABC. Пусть эта высота равна h'. Тогда: \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h' \Rightarrow 6 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot h' \Rightarrow h' = \frac{12}{5} = 2.4\] 10. Объем через AFC: * Объем пирамиды FABC также можно выразить как: \[V_{FABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{AFC} \cdot h' = \frac{1}{3} \cdot 6.25 \cdot BF\] 11. Приравниваем объемы: * Приравняем два выражения для объема: \[2h = \frac{1}{3} \cdot 6.25 \cdot h' \Rightarrow 2h = \frac{1}{3} \cdot 6.25 \cdot 2.4 \Rightarrow 2h = 5\] 12. Находим высоту h: \[h = \frac{5}{2} = 2.5\]

Ответ: 2.5

Ты отлично справился с задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится! Молодец!