2. В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии 18 человек, по тригонометрии 18 человек. По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии 9 человек, по геометрии и тригонометрии человек. Ни одной задачи не решили 3 человека. Сколько учащихся решили все зада

Задача на логику и теорию множеств.

Пусть:

A - множество учеников, решивших задачу по алгебре.

G - множество учеников, решивших задачу по геометрии.

T - множество учеников, решивших задачу по тригонометрии.

Дано:

Общее количество учеников = 40.

|A| = 20 (количество учеников, решивших алгебру).

|G| = 18 (количество учеников, решивших геометрию).

|T| = 18 (количество учеников, решивших тригонометрию).

|A ∩ G| = 7 (количество учеников, решивших и алгебру, и геометрию).

|A ∩ T| = 9 (количество учеников, решивших и алгебру, и тригонометрию).

|G ∩ T| = 8 (количество учеников, решивших и геометрию, и тригонометрию).

Количество учеников, не решивших ни одной задачи = 3.

Нужно найти количество учеников, решивших все три задачи, т.е. |A ∩ G ∩ T|.

Сначала найдем, сколько учеников решили хотя бы одну задачу:

Всего учеников - ученики, не решившие ничего = 40 - 3 = 37.

Используем формулу включений-исключений для трех множеств:

$$|A ∪ G ∪ T| = |A| + |G| + |T| - |A ∩ G| - |A ∩ T| - |G ∩ T| + |A ∩ G ∩ T|$$

$$37 = 20 + 18 + 18 - 7 - 9 - 8 + |A ∩ G ∩ T|$$

$$37 = 56 - 24 + |A ∩ G ∩ T|$$

$$37 = 32 + |A ∩ G ∩ T|$$

$$|A ∩ G ∩ T| = 37 - 32$$

$$|A ∩ G ∩ T| = 5$$

Ответ: 5