В окружности с центром в точке О из точки А окружности проведены две хорды, пересекающие её в точках В и С (см. рис.). Чему равен угол САВ, если ∠CBO = 55°?

Задание 5. Геометрия

Дано:

• Окружность с центром в точке O.
• Хорды AB и AC.
• \( ∠CBO = 55^\circ \).

Найти: \( ∠CAB \).

Решение:

1. Рассмотрим треугольник \( ∆CBO \). Так как OC и OB — радиусы окружности, то \( OC = OB \). Следовательно, \( ∆CBO \) — равнобедренный.

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, \( ∠OCB = ∠CBO = 55^\circ \).

3. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Найдем угол \( ∠COB \) в \( ∆CBO \):

\[ ∠COB = 180^\circ - (∠CBO + ∠OCB) = 180^\circ - (55^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \]

4. Угол \( ∠COB \) является центральным углом, опирающимся на дугу CB. Величина этой дуги равна величине центрального угла, то есть дуга CB = 70°.

5. Угол \( ∠CAB \) — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу CB. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается:

\[ ∠CAB = \frac{1}{2} \text{дуга } CB = \frac{1}{2} ∠COB = \frac{1}{2} ⋅ 70^\circ = 35^\circ \]

Ответ: 35°