7. В окружности с центром O проведены диаметр MN и хорды NF и NK так, что NF = NK. Докажите, что ∠MNK = ∠MNF.

Дано: Окружность с центром O, диаметр MN, хорды NF = NK.

Доказать: ∠MNK = ∠MNF.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники △ONK и △ONF.
2. ON - общая сторона.
3. OK = OF = R (радиус окружности).
4. NK = NF (по условию).
5. Следовательно, △ONK = △ONF (по трем сторонам).
6. Значит, ∠ONK = ∠ONF (как соответственные элементы равных треугольников).
7. Так как MN - диаметр, то ∠MKN и ∠MNF - вписанные углы, опирающиеся на полуокружность.
8. Значит, ∠MKN = ∠MNF = 90°.
9. Следовательно, ∠MNK = ∠MNF.

Что и требовалось доказать.