5*. В окружности с центром О проведен диаметр АВ, пересекающий хорду CD в точке К, причем К – середина хорды. Известно, что ∠CAD = 40°. Найдите ZBAD.

1) Так как $$K$$ - середина хорды $$CD$$, а $$AB$$ - диаметр, то $$AB$$ перпендикулярен $$CD$$.

2) $$\angle CAD = 40^{\circ}$$ - вписанный угол, опирающийся на дугу $$CD$$.

3) $$\angle CBD = \angle CAD = 40^{\circ}$$ (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу).

4) Так как $$AB$$ перпендикулярна $$CD$$, то $$\angle CKB = 90^{\circ}$$.

5) $$\triangle CBK$$: $$\angle BCK + \angle CBK = 90^{\circ}$$.

6) $$\angle BCK = 90^{\circ} - \angle CBK = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$$.

7) $$\angle COB = 2 \cdot \angle CAD = 2 \cdot 40^{\circ} = 80^{\circ}$$ (центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу).

8) $$\angle AOC = 180^{\circ} - \angle COB = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$$.

9) $$\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \angle AOC = \frac{1}{2} \cdot 100^{\circ} = 50^{\circ}$$ (вписанный угол в два раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу).

10) $$\angle ABD = 90^{\circ}$$ (как угол, опирающийся на диаметр).

11) $$\angle BAD = 90^{\circ} - \angle ABD = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}$$.

Ответ:$$\angle BAD = 50^{\circ}$$