5*. В окружности с центром О проведен диаметр АВ, пересекающий хорду CD в точке К, причем К – середина хорды. Известно, что ∠CAD = 40°. Найдите ∠BAD.

Поскольку диаметр AB пересекает хорду CD в её середине (точке K), то AB перпендикулярен CD. Следовательно, ∠AKC = 90°.

Так как K – середина CD, то CK = KD. Значит, OK - серединный перпендикуляр к CD, и OK перпендикулярен CD.

∠CAD = 40° (дано).

Рассмотрим треугольник AOC. Так как OA = OC (радиусы), то треугольник AOC равнобедренный, и ∠OAC = ∠OCA.

Поскольку ∠CAD = 40°, то ∠OAC = 40°.

∠AOC = 180° - 2 * ∠OAC = 180° - 2 * 40° = 180° - 80° = 100°.

∠COB = 180° - ∠AOC = 180° - 100° = 80° (так как AOB - диаметр).

Рассмотрим треугольник COK. ∠OKC = 90° (так как AB перпендикулярен CD). Значит, ∠OCK + ∠COK = 90°.

∠COK = 90° - ∠OCK.

∠COK = 90° - 40° = 50°.

∠BOD = 2 * ∠BAD

∠COD = 180 - ∠CAD - ∠ADC = 180 - 40 -40 = 100

Центральный угол COD опирается на хорду CD и равен 100 градусов.

Тогда вписанный угол CAD, опирающийся на эту же хорду равен половине центрального угла: 100/2 = 50 градусов.

Искомый угол ∠BAD = ∠BAC - ∠CAD = 50 - 40 = 10 градусов

Ответ: 10°