В окружности с центром О через середину радиуса провели хорду АВ, перпендикулярную ему. Докажите, что ∠АОВ = 120°.

Решение:

1. Построим чертеж: Представим окружность с центром в точке O. Проведем радиус (например, OD). Найдем его середину (точку M). Через точку M проведем хорду AB, перпендикулярную радиусу OD.
2. Рассмотрим треугольник AOB: Треугольник AOB — равнобедренный, так как OA и OB — радиусы окружности.
3. Рассмотрим треугольник AOM: Треугольник AOM — прямоугольный, так как AB ⊥ OD (по условию). Угол AOM — это половина угла AOB.
4. Найдем OM: По условию, M — середина радиуса OD. Значит, OM = 1/2 * OD.
5. Свяжем OM и OA: В прямоугольном треугольнике AOM, OM является катетом, а OA — гипотенузой (так как OA — радиус).
6. Используем тригонометрию: В прямоугольном треугольнике, отношение прилежащего катета к гипотенузе равно косинусу угла. То есть, \( \cos(\angle AOM) = \frac{OM}{OA} \).
7. Подставим значения: Так как OM = 1/2 * OD и OA = OD (оба — радиусы), то OM = 1/2 * OA. Следовательно, \( \cos(\angle AOM) = \frac{\frac{1}{2} OA}{OA} = \frac{1}{2} \).
8. Найдем угол AOM: Угол, косинус которого равен 1/2, равен 60°. Значит, \( \angle AOM = 60° \).
9. Найдем угол AOB: Так как OM — высота и медиана в равнобедренном треугольнике AOB, она делит угол AOB пополам. Поэтому, \( \angle AOB = 2 * \angle AOM = 2 * 60° = 120° \).

Что и требовалось доказать.