7*. В окружности радиуса 10 см проведён диаметр и на нём взята точка А на расстоянии 5 см от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри касается данной окружности.

Пошаговое решение:

• Пусть O - центр большей окружности, O1 - центр меньшей окружности, R - радиус большей окружности (10 см), r - радиус меньшей окружности.
• Расстояние от центра большей окружности до точки A равно 5 см (OA = 5 см).
• Так как меньшая окружность касается большей изнутри, то расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов: OO1 = R - r = 10 - r.
• Точка A лежит на диаметре, и меньшая окружность касается диаметра в точке A. Поэтому O1A = r.
• Рассмотрим треугольник OO1A. Этот треугольник прямоугольный, так как касание происходит на диаметре большей окружности.
• Применим теорему Пифагора: OO1² = OA² + O1A² => (10 - r)² = 5² + r² => 100 - 20r + r² = 25 + r² => 20r = 75 => r = 75 / 20 = 3.75 см

Ответ: Радиус второй окружности равен 3.75 см.