В окружности провели хорду CD так, что точки C и D лежат по одну сторону от диаметра AB. Градусная мера дуги AC равна 105°, градусная мера дуги BD равна 15°. Найди длину хорды CD, если AB = 30 см

Question

Вопрос:

В окружности провели хорду CD так, что точки C и D лежат по одну сторону от диаметра AB. Градусная мера дуги AC равна 105°, градусная мера дуги BD равна 15°. Найди длину хорды CD, если AB = 30 см

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Дано: окружность с диаметром \( AB = 30 \) см. Точки \( C \) и \( D \) лежат по одну сторону от \( AB \). Дуга \( AC = 105^{\circ} \), дуга \( BD = 15^{\circ} \).

Найти: длину хорды \( CD \).

Ход решения:

Найдём градусную меру дуги \( CD \).

Так как \( AB \) — диаметр, то дуга \( AB = 180^{\circ} \).
Дуга \( AC = 105^{\circ} \), дуга \( BD = 15^{\circ} \).
Дуга \( AD = AB - BD = 180^{\circ} - 15^{\circ} = 165^{\circ} \) (если \( C \) и \( D \) по одну сторону от \( AB \) и \( D \) ближе к \( A \)).
Дуга \( BC = AB - AC = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ} \) (аналогично).
Нам нужно рассмотреть положение точек \( C \) и \( D \) относительно диаметра \( AB \). Предположим, что точки \( C \) и \( D \) находятся на верхней полуокружности.
Тогда дуга \( CD = |\text{дуга } AC - \text{дуга } AD| \) или \( CD = |\text{дуга } BC - \text{дуга } BD| \).
Рассмотрим случай, когда точки расположены в порядке \( A, D, C, B \) по дуге.
Дуга \( AD = 180^{\circ} - 15^{\circ} = 165^{\circ} \).
Дуга \( BC = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ} \).
Пусть \( C \) и \( D \) лежат на одной стороне от \( AB \).
Если \( C \) и \( D \) находятся на одной дуге, например, при отсчёте от \( A \) против часовой стрелки, то дуга \( AC = 105^{\circ} \), дуга \( AD = 180^{\circ} - 15^{\circ} = 165^{\circ} \).
Тогда дуга \( CD = |\text{дуга } AD - \text{дуга } AC| = |165^{\circ} - 105^{\circ}| = 60^{\circ} \).
Если \( C \) и \( D \) расположены иначе, например, \( D \) находится между \( A \) и \( C \) (или наоборот), то будем учитывать дугу \( AC = 105^{\circ} \) и дугу \( AD = 180^{\circ} - 15^{\circ} = 165^{\circ} \).
Если \( C \) и \( D \) по одну сторону от \( AB \), и \( D \) ближе к \( A \), то дуга \( AD = 180^{\circ} - 15^{\circ} = 165^{\circ} \).
Дуга \( AC = 105^{\circ} \).
Тогда дуга \( CD = 165^{\circ} - 105^{\circ} = 60^{\circ} \).
Альтернативный вариант: Пусть \( C \) и \( D \) по одну сторону, и \( C \) ближе к \( A \). Тогда дуга \( AC = 105^{\circ} \). Дуга \( AD \) может быть \( 180^{\circ} + 15^{\circ} = 195^{\circ} \) (это на другой стороне), или \( 180^{\circ} - 15^{\circ} = 165^{\circ} \).
Если \( C \) и \( D \) по одну сторону, то мы должны вычесть или сложить дуги.
Если \( C \) и \( D \) по одну сторону от \( AB \), и, например, \( A, C, D, B \) — порядок точек по дуге.
Тогда дуга \( AC = 105^{\circ} \). Дуга \( BD = 15^{\circ} \).
Дуга \( AB = 180^{\circ} \).
Дуга \( AD = AB - BD = 180^{\circ} - 15^{\circ} = 165^{\circ} \).
Дуга \( CD = AD - AC = 165^{\circ} - 105^{\circ} = 60^{\circ} \).
Длина хорды в окружности вычисляется по формуле: \( l = 2R ")]sin(\frac{\alpha}{2})\), где \( R \) — радиус окружности, \( \alpha \) — центральный угол, соответствующий хорде.
Диаметр \( AB = 30 \) см, следовательно, радиус \( R = \frac{30}{2} = 15 \) см.
Центральный угол, соответствующий дуге \( CD \) равен градусной мере дуги \( CD \), то есть \( \angle COD = 60^{\circ} \).
Длина хорды \( CD = 2R ")]sin(\frac{60^{\circ}}{2}) = 2 \cdot 15 ")]sin(30^{\circ}) = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15 \) см.

Ответ: 15 см