16. В окружности проведены две равные взаимно перпендикуляр- ные хорды. Каждая из них делится другой хордой на два отрез- ка 3 и 7. Найдите расстояние от центра окружности до каждой хорды. Ответ

Смотри, тут всё просто:

1. Найдем длину каждой хорды:

   \[3 + 7 = 10\]

2. Так как хорды взаимно перпендикулярны и равны, то расстояние от центра до каждой хорды одинаковое. Пусть это расстояние равно x.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами хорд (3 и 7) и расстояниями от центра до хорд. По теореме Пифагора:

   \[x^2 + x^2 = 3^2 + 7^2\]

   \[2x^2 = 9 + 49\]

   \[2x^2 = 58\]

   \[x^2 = 29\]

   \[x = \sqrt{29}\]

4. Теперь найдем расстояние от центра окружности до каждой хорды. Так как каждая хорда делится пополам другой хордой, то рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной хорды (5), расстоянием от центра до хорды (x) и радиусом окружности (R):

   \[R^2 = 5^2 + x^2\]

   \[R^2 = 25 + 29\]

   \[R^2 = 54\]

   \[R = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}\]

5. Рассмотрим расстояние от центра до хорды длиной 3 и 7. Пусть расстояние от центра до каждой хорды равно d. Тогда:

   \[d^2 + 5^2 = R^2\]

   \[d^2 + 25 = 54\]

   \[d^2 = 29\]

   \[d = \sqrt{29}\]

Ответ: \(\sqrt{29}\)

Проверка за 10 секунд: Убедись, что расстояние от центра до хорды меньше радиуса окружности.

Доп. профит: Зная расстояние от центра до хорды и радиус, можно найти длину хорды.