200 В окружность вписан равносторонний треугольник АВС. На этой окружности случайным образом выбирают две точки — D и Е. Найдите вероятность того, что отрезок DE: а) не пересекает ни одну из сторон треугольника; б) пересекает ровно две стороны треугольника.

Это задача на геометрическую вероятность.

Обозначим длину окружности за 1.

Пусть точка D имеет координату 0.

Тогда координата точки E - случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [0, 1].

Обозначим вершины треугольника как A, B и C.

Разделим окружность на три дуги, соответствующие сторонам треугольника ABC. Каждая дуга имеет длину 1/3.

Отрезок DE не пересекает ни одну из сторон треугольника, если точки D и E лежат на одной из трех дуг, стягиваемых сторонами треугольника. Это возможно, если точка E попадает в интервал длиной 1/3 с центром в точке D. Вероятность этого равна 1/3.

Таким образом, чтобы отрезок DE не пересекал ни одной стороны, точка E должна находиться на расстоянии не более 1/3 от точки D. Общая длина, где может находиться точка E, чтобы DE не пересекал ни одну сторону, равна 1/3. Так как общая длина окружности равна 1, то вероятность равна (1/3)/(1) = 1/3.

а) Вероятность, что отрезок DE не пересекает ни одну из сторон треугольника равна 1/3.

б) Отрезок DE пересекает ровно две стороны треугольника, если точка E находится на расстоянии более 1/3 от точки D, но при этом не находится на противоположной дуге. Вероятность, что DE пересекает ровно две стороны, равна 1/3.

б) Вероятность, что отрезок DE пересекает ровно две стороны треугольника равна 1/3.

Ответ: а) 1/3; б) 1/3