В одном очень дружном классе принято, чтобы перед первым уроком каждый ученик и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришло 36 учеников дружного класса, и суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу? 1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?

Обозначим число мальчиков через b, а число девочек через g. Тогда b + g = 36.

Число рукопожатий между ребятами одного пола равно \(\binom{b}{2}+\binom{g}{2}\), а между мальчиками и девочками — \(bg\). По условию:

\(\binom{b}{2}+\binom{g}{2}=bg\).

Подставим формулу числа пар и используем \(b+g=36\):

\(\frac{b(b-1)+g(g-1)}{2}=bg\), поэтому \(b^2+g^2-36=2bg\).

Значит, \((b-g)^2=b^2+g^2-2bg=36\), откуда \(|b-g|=6\). Возможны два распределения: \(b=15, g=21\) или \(b=21, g=15\). Следовательно, у задачи два варианта ответа.

Ответ: 2.