В одном классе выяснилось, что пятеро ребят дружат ровно с тремя другими, а все остальные имеют в классе ровно по 4 друга (считаем, что все дружбы взаимны). Может ли такое быть?

Давайте рассмотрим эту задачу с точки зрения теории графов. Представим каждого ребенка как вершину графа, а дружбу между ними как ребро, соединяющее эти вершины. Тогда число друзей у каждого ребенка будет степенью соответствующей вершины. По условию, у нас есть 5 ребят, у которых по 3 друга, а у остальных – по 4 друга. Пусть общее число ребят в классе равно $$n$$. Тогда число ребят с 4 друзьями будет $$n - 5$$. Сумма степеней всех вершин в графе равна удвоенному числу рёбер. В нашем случае, сумма степеней равна: $$5 \cdot 3 + (n - 5) \cdot 4 = 15 + 4n - 20 = 4n - 5$$. Так как сумма степеней должна быть четным числом (удвоенное число ребер), то $$4n - 5$$ должно быть четным. Однако, $$4n$$ всегда четно, и вычитание 5 делает результат нечетным. Таким образом, $$4n - 5$$ не может быть четным числом. Следовательно, такая ситуация невозможна. **Ответ:** Нет **Развёрнутый ответ для школьника:** Представь, что каждый ученик в классе – это точка, а дружба – это линия, соединяющая двух друзей. Нам сказали, что 5 учеников дружат с 3 другими ребятами, а все остальные – с 4 ребятами. Чтобы понять, возможно ли это, нужно посчитать общее количество «дружб» в классе. Когда мы считаем всех друзей каждого ученика, нужно помнить, что каждая дружба учитывается дважды (например, если Маша дружит с Петей, то это и Машин друг, и Петин). Поэтому, общее количество «дружб» должно быть четным числом. Если у нас 5 учеников с 3 друзьями, то получается $$5 \times 3 = 15$$ «дружб». Если у остальных учеников по 4 друга, то получается $$(n - 5) \times 4$$ «дружб», где $$n$$ – общее количество учеников в классе. Общее количество «дружб» будет $$15 + (n - 5) \times 4 = 15 + 4n - 20 = 4n - 5$$. Но $$4n$$ всегда четное число, а когда мы вычитаем 5, получается нечетное число. А мы знаем, что общее количество «дружб» должно быть четным. Значит, такая ситуация невозможна. Поэтому ответ – нет.