Нормативная форма множественного числа слова «погон» — погоны, а не «погона»; в предложном и родительном падежах: «офицерских погон». Остальные формы образованы правильно: размеры носок, красивого почерка, опытные инженеры, бережёт природу.
Ответ: офицерских ПОГОН.