В некотором графе 39 рёбер. Каждая вершина графа имеет степень 5 или степень 8, причём вершин степени 5 столько же, сколько вершин степени 8. Сколько всего вершин содержит граф?

Решение:

Обозначим количество вершин степени 5 как \( x \) и количество вершин степени 8 как \( y \).

По условию, количество вершин степени 5 равно количеству вершин степени 8, то есть \( x = y \).

Сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству рёбер. В данном случае, общее количество рёбер равно 39, поэтому сумма степеней равна \( 2 \cdot 39 = 78 \).

Сумма степеней всех вершин также равна сумме степеней вершин степени 5 и степеней вершин степени 8: \( 5x + 8y \).

Приравниваем два выражения для суммы степеней: \( 5x + 8y = 78 \).

Так как \( x = y \), можем подставить \( x \) вместо \( y \) (или наоборот): \( 5x + 8x = 78 \).

Складываем: \( 13x = 78 \).

Находим \( x \): \( x = \frac{78}{13} = 6 \).

Так как \( x = y \), то \( y = 6 \).

Общее количество вершин графа равно сумме вершин степени 5 и вершин степени 8: \( x + y = 6 + 6 = 12 \).

Ответ: 12