В кубический аквариум с ребром, равным 1м, на дне которого лежит камень в виде куба с ребром 0,5 м, равномерно наливают воду. Нарисовать график зависимости от времени высоты уровня воды над дном, если время заполнения аквариума водой составило 14 минут.

Решение:

Аквариум имеет форму куба с ребром \( L = 1 \text{ м} \). Объем аквариума: \( V_{\text{аквариума}} = L^3 = 1^3 = 1 \text{ м}^3 \).

На дне лежит камень в виде куба с ребром \( a = 0.5 \text{ м} \). Объем камня: \( V_{\text{камня}} = a^3 = (0.5)^3 = 0.125 \text{ м}^3 \).

Объем воды, который нужно налить, чтобы заполнить аквариум до края, равен разности объема аквариума и объема камня:

\( V_{\text{воды}} = V_{\text{аквариума}} - V_{\text{камня}} = 1 - 0.125 = 0.875 \text{ м}^3 \).

Вода наливается равномерно в течение \( T = 14 \text{ минут} \). Скорость наполнения водой: \( v_{\text{воды}} = \frac{V_{\text{воды}}}{T} = \frac{0.875 \text{ м}^3}{14 \text{ мин}} = 0.0625 \text{ м}^3/\text{мин} \).

Высота уровня воды \( h \) в аквариуме также растет равномерно. За время \( t \) (где \( 0 \le t \le 14 \text{ мин} \)) объем налитой воды составляет \( V(t) = v_{\text{воды}} \cdot t \).

Высота уровня воды над дном зависит от объема налитой воды и площади дна, учитывая, что часть дна занята камнем.

Площадь дна аквариума: \( S_{\text{дна}} = L^2 = 1^2 = 1 \text{ м}^2 \).

Площадь дна, занятая камнем: \( S_{\text{камня}} = a^2 = (0.5)^2 = 0.25 \text{ м}^2 \).

Площадь поверхности воды, по которой растет уровень: \( S_{\text{воды}} = S_{\text{дна}} - S_{\text{камня}} = 1 - 0.25 = 0.75 \text{ м}^2 \) (пока уровень воды ниже высоты камня, т.е. \( h \le 0.5 \text{ м} \)).

Когда уровень воды превысит высоту камня (т.е. \( h > 0.5 \text{ м} \)), площадь поверхности воды станет равна площади дна аквариума: \( S_{\text{воды}} = L^2 = 1 \text{ м}^2 \).

График зависимости высоты уровня воды над дном от времени:

График будет состоять из двух участков:

1. Участок 1 \(0 \le h \le 0.5 м\): На этом участке площадь поверхности воды постоянна \( S_{\text{воды}} = 0.75 \text{ м}^2 \). Высота \( h \) растет линейно с объемом: \( V(t) = S_{\text{воды}} \cdot h \). \( h(t) = \frac{V(t)}{S_{\text{воды}}} = \frac{v_{\text{воды}} \cdot t}{0.75} = \frac{0.0625 \cdot t}{0.75} = \frac{1}{12} t \).
2. Участок 2 \(0.5 м < h \le 1 м\): На этом участке площадь поверхности воды становится \( S_{\text{воды}} = 1 \text{ м}^2 \). \( h(t) = \frac{V(t)}{S_{\text{воды}}} = \frac{v_{\text{воды}} \cdot t}{1} = 0.0625 t \).

Найдем время, когда уровень воды достигнет высоты камня (0.5 м):

\( 0.5 = \frac{1}{12} t \) \(\Rightarrow\) \( t = 0.5 \cdot 12 = 6 \text{ минут} \).

К 6 минутам будет налито \( V(6) = 0.0625 \cdot 6 = 0.375 \text{ м}^3 \) воды, и высота будет 0.5 м.

Оставшееся время до 14 минут: \( 14 - 6 = 8 \text{ минут} \).

За эти 8 минут будет налито \( V_{\text{ост}} = 0.0625 \cdot 8 = 0.5 \text{ м}^3 \) воды. Общий объем воды будет \( 0.375 + 0.5 = 0.875 \text{ м}^3 \).

Высота уровня воды в конце будет \( 0.5 \text{ м} + \frac{0.5 \text{ м}^3}{1 \text{ м}^2} = 0.5 + 0.5 = 1 \text{ м} \).

График будет выглядеть так:

Ответ: График представляет собой две линейные зависимости высоты уровня воды от времени. Первый участок (до 6 минут) имеет наклон \( \frac{1}{12} \) м/мин, второй участок (с 6 до 14 минут) имеет наклон \( 0.0625 = \frac{1}{16} \) м/мин. Высота достигает 0.5 м за 6 минут, и 1 м за 14 минут.