В кубе ABCDА₁B₁C₁D₁ точка К - середина ребра СС₁, точка М - середина ребра CD. Найдите величину угла между прямыми КМ и AD₁. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть ребро куба равно \( a \). Введём систему координат. Пусть вершина D будет началом координат \( (0,0,0) \). Ось Dx направлена вдоль ребра DA, ось Dy — вдоль ребра DC, ось Dz — вдоль ребра DD₁.

Координаты вершин:

• \( D = (0,0,0) \)
• \( A = (a,0,0) \)
• \( C = (0,a,0) \)
• \( D₁ = (0,0,a) \)
• \( C₁ = (0,a,a) \)

Точка \( K \) — середина ребра \( CC₁ \), значит:

\( K = \left( \frac{0+0}{2}, \frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2} \right) = \left( 0, a, \frac{a}{2} \right) \)

Точка \( M \) — середина ребра \( CD \), значит:

\( M = \left( \frac{0+0}{2}, \frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = \left( 0, \frac{a}{2}, 0 \right) \)

Найдем вектор \( \vec{KM} \):

\( \vec{KM} = M - K = \left( 0 - 0, \frac{a}{2} - a, 0 - \frac{a}{2} \right) = \left( 0, -\frac{a}{2}, -\frac{a}{2} \right) \)

Найдем вектор \( \vec{AD₁} \):

\( \vec{AD₁} = D₁ - A = \left( 0 - a, 0 - 0, a - 0 \right) = \left( -a, 0, a \right) \)

Найдем косинус угла \( \alpha \) между векторами \( \vec{KM} \) и \( \vec{AD₁} \) по формуле:

\( \cos \alpha = \frac{\vec{KM} \cdot \vec{AD₁}}{|\vec{KM}| \cdot |\vec{AD₁}|} \)

Скалярное произведение:

\( \vec{KM} \cdot \vec{AD₁} = (0)(-a) + \left(-\frac{a}{2}\right)(0) + \left(-\frac{a}{2}\right)(a) = 0 + 0 - \frac{a^2}{2} = -\frac{a^2}{2} \)

Длины векторов:

\( |\vec{KM}| = \sqrt{0^2 + \left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \)

\( |\vec{AD₁}| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \)

Косинус угла:

\( \cos \alpha = \frac{-\frac{a^2}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot a\sqrt{2}} = \frac{-\frac{a^2}{2}}{\frac{a^2 \cdot 2}{2}} = \frac{-\frac{a^2}{2}}{a^2} = -\frac{1}{2} \)

Угол, косинус которого равен \( -\frac{1}{2} \), равен \( 120^{\circ} \).

Ответ: 120.