В коробке, имеющей форму параллелепипеда с размерами 15 см, 8 см и 12 см, сделали прямоугольное отверстие длиной 11 см и шириной 5 см, как показано на рисунке. Найди площадь наружной поверхности получившейся коробки.

Решение:

Для нахождения площади наружной поверхности коробки с отверстием, нужно из общей площади поверхности параллелепипеда вычесть площадь отверстия и добавить площадь его боковых стенок. Однако, в данном случае, отверстие находится на верхней грани, и его площадь не вычитается из общей площади, а лишь уменьшает площадь верхней грани. Площадь боковых стенок отверстия добавляется к общей площади поверхности.

Размеры коробки: длина \( l = 15 \text{ см} \), ширина \( w = 8 \text{ см} \), высота \( h = 12 \text{ см} \).

Площадь поверхности параллелепипеда без отверстия: \( S_{total} = 2(lw + lh + wh) \)

\( S_{total} = 2(15 × 8 + 15 × 12 + 8 × 12) \)

\( S_{total} = 2(120 + 180 + 96) \)

\( S_{total} = 2(396) = 792 \text{ см}^2 \.

Размеры отверстия: длина \( l_{hole} = 11 \text{ см} \), ширина \( w_{hole} = 5 \text{ см} \).

Площадь отверстия на верхней грани: \( S_{hole} = l_{hole} × w_{hole} = 11 × 5 = 55 \text{ см}^2 \.

Так как отверстие прорезано, площадь верхней грани уменьшается на площадь отверстия. Но поскольку это наружная поверхность, то фактически мы имеем дело с уменьшенной площадью верхней грани, и к площади прибавляются внутренние стенки отверстия. В такой постановке задачи, обычно считают, что отверстие сквозное, и площадь верхней грани уменьшается, а площадь нижней грани остается прежней.

Предполагается, что отверстие сквозное и находится на верхней грани.

Площадь верхней грани с отверстием: \( S_{top\ with\ hole} = lw - S_{hole} = 15 × 8 - 55 = 120 - 55 = 65 \text{ см}^2 \.

Площадь нижней грани: \( S_{bottom} = lw = 15 × 8 = 120 \text{ см}^2 \.

Площадь боковых граней: \( 2(lh + wh) = 2(15 × 12 + 8 × 12) = 2(180 + 96) = 2(276) = 552 \text{ см}^2 \.

Площадь боковых стенок отверстия (периметр отверстия умножить на высоту коробки): \( P_{hole} × h = 2(l_{hole} + w_{hole}) × h = 2(11 + 5) × 12 = 2(16) × 12 = 32 × 12 = 384 \text{ см}^2 \.

Общая площадь наружной поверхности с отверстием: \( S_{final} = S_{top\ with\ hole} + S_{bottom} + 2(lh) + 2(wh) + P_{hole} × h \)

\( S_{final} = (120 - 55) + 120 + 2(15 × 12) + 2(8 × 12) + 2(11+5) × 12 \)

\( S_{final} = 65 + 120 + 360 + 192 + 384 = 1121 \text{ см}^2 \.

Примечание: В расчетах предполагается, что отверстие сквозное и располагается на грани размером 15х8 см.

Альтернативный расчет (более простой, вычитаем площадь отверстия из верхней грани и добавляем площадь боковых стенок отверстия):

Площадь всей поверхности параллелепипеда: \( S_{full} = 2(15 \times 8 + 15 \times 12 + 8 \times 12) = 2(120 + 180 + 96) = 2(396) = 792 \text{ см}^2 \.

Площадь отверстия: \( S_{hole} = 11 \times 5 = 55 \text{ см}^2 \.

Площадь боковых стенок отверстия: \( P_{hole} \times h = 2(11+5) \times 12 = 2(16) \times 12 = 32 \times 12 = 384 \text{ см}^2 \.

Площадь наружной поверхности: \( S_{outer} = S_{full} - S_{hole} + S_{hole} \text{ (бок. стенки)} \) - эта формула некорректна, так как \( S_{full} \) уже включает верхнюю грань, из которой вычитается \( S_{hole} \).

Правильный расчет:

Площадь верхней грани с отверстием = \( 15 \times 8 - 11 \times 5 = 120 - 55 = 65 \text{ см}^2 \.

Площадь остальных граней = \( 15 \times 8 \text{ (низ)} + 2 \times (15 \times 12) + 2 \times (8 \times 12) \) = \( 120 + 2 \times 180 + 2 \times 96 \) = \( 120 + 360 + 192 = 672 \(\text{ см}\)^2 \.

Площадь внутренних стенок отверстия = \( 2(11+5) \(\times\) 12 = 2(16) \(\times\) 12 = 32 \(\times\) 12 = 384 \(\text{ см}\)^2 \.

Итоговая площадь = \( 65 + 672 + 384 = 1121 \(\text{ см}\)^2 \.

Ответ: 1121 см².