Чтобы выяснить, какие заведения, кроме тюрем, городничий предлагал Хлестакову «обсмотреть», можно воспользоваться поиском по тексту пьесы «Ревизор». В электронном варианте текста можно найти все упоминания слова «обсмотреть» или близких по смыслу слов.
В пьесе есть такой диалог:
Городничий. Не хотите ли теперь же освидетельствовать богоугодные заведения?
Хлестаков. С удовольствием. Я всегда готов. (Идет за ними и говорит.) Что это у вас за заведение?
Артемий Филиппович. Это, ваше превосходительство, здешняя больница.
Хлестаков. Как хорошо устроено! А это что за комната?
Артемий Филиппович. Это больные лежат.
Хлестаков. Что ж они у вас так нечистоплотны?
Артемий Филиппович. Да это такой народ уж!
Хлестаков. Странно! Я, признаюсь, не люблю больниц. Вы, однако ж, хорошо устроили.
Таким образом, городничий предлагал посетить больницу.
Ответ: больницу.