В клетчатом прямоугольнике 20 х 2021 провели диагональ, соединив отрезком противоположные вершины. После этого закрасили в чёрный цвет все клеточки, которые этот отрезок пересекает (т.е. содержит точки внутри клеточки). Сколько клеточек оказалось закрашено?

Это задача на подсчет количества клеток, которые пересекает диагональ прямоугольника.

Дано:

• Прямоугольник размером 20 клеток на 2021 клетку.
• Проведена диагональ.
• Закрашены клетки, которые пересекает диагональ.

Решение:

Чтобы найти количество закрашенных клеток, воспользуемся формулой:

Количество закрашенных клеток = (Ширина * Высота) - НОД(Ширина, Высота)

В нашем случае:

• Ширина = 20
• Высота = 2021

Сначала найдем Наибольший общий делитель (НОД) для 20 и 2021.

1. Разложим 20 на простые множители: $$20 = 2^2 \times 5$$.
2. Разложим 2021 на простые множители. Можно проверить делимость на простые числа. 2021 не делится на 2, 3 (сумма цифр 5), 5. Попробуем 7: $$2021 / 7
   eq$$ целое. Попробуем 11: $$2021 / 11
   eq$$ целое. Попробуем 13: $$2021 / 13 = 155.46$$. Попробуем 17: $$2021 / 17
   eq$$ целое. Попробуем 19: $$2021 / 19
   eq$$ целое. Попробуем 23: $$2021 / 23 = 87.86$$. Попробуем 43: $$2021 / 43 = 47$$.
3. Итак, $$2021 = 43 \times 47$$.
4. Числа 20 и 2021 не имеют общих простых множителей.
5. Следовательно, НОД(20, 2021) = 1.

Теперь применим формулу:

Количество закрашенных клеток = $$(20 \times 2021) - 1$$

Количество закрашенных клеток = $$40420 - 1$$

Количество закрашенных клеток = $$40419$$

Объяснение формулы:

Диагональ проходит через 1 клетку в начале и 1 клетку в конце. Количество клеток, через которые проходит диагональ, равно сумме ширин и высот, минус НОД. Это связано с тем, что в каждой точке, где диагональ пересекает вертикальную и горизонтальную линию сетки одновременно (то есть проходит через вершину клетки), мы бы посчитали ее дважды, если бы просто суммировали количество пересеченных горизонтальных и вертикальных линий. НОД как раз и показывает, сколько таких общих вершин (и, соответственно, лишних подсчетов) есть на диагонали.

В случае, когда НОД равен 1, это означает, что диагональ проходит через вершины клеток только в двух крайних точках прямоугольника, и не проходит через внутренние вершины сетки.