В классе 8 учеников. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя, если один ученик не может занимать обе должности одновременно?

Решение:

Эту задачу можно решить с помощью комбинаторики. Нам нужно выбрать двух учеников из 8 на две разные должности (староста и заместитель), причем порядок выбора имеет значение (выбрать Васю старостой, а Петю заместителем — это не то же самое, что выбрать Петю старостой, а Васю заместителем).

Для выбора старосты у нас есть 8 учеников.

После того как староста выбран, на должность заместителя остается 7 учеников (так как один ученик уже занял пост старосты и не может занимать обе должности одновременно).

Общее количество способов выбрать старосту и его заместителя равно произведению количества вариантов выбора на каждую должность.

Количество способов = (Количество вариантов для старосты) \( \times \) (Количество вариантов для заместителя)

Количество способов = \( 8 \times 7 \)

Количество способов = \( 56 \)

Это также соответствует формуле размещений без повторений \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \), где \( n \) — общее количество элементов (учеников), а \( k \) — количество выбираемых элементов (должностей).

В данном случае \( n=8 \) и \( k=2 \).

\[ A_8^2 = \frac{8!}{(8-2)!} = \frac{8!}{6!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56 \]

Ответ: 56 способов.