В классе 15 учеников. Для участия в школьной эстафете необходимо выбрать 13 школьников. Сколькими способами классный руководитель может сделать свой выбор?

Решение:

Это задача на комбинаторику, а именно на сочетания. Нам нужно выбрать 13 учеников из 15, при этом порядок выбора не важен. Формула для числа сочетаний из $$n$$ по $$k$$ выглядит так:

$$C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Где:

• $$n$$ — общее количество элементов (учеников в классе), в нашем случае $$n = 15$$.
• $$k$$ — количество выбираемых элементов (учеников для эстафеты), в нашем случае $$k = 13$$.

Подставим значения в формулу:

$$C(15, 13) = \binom{15}{13} = \frac{15!}{13!(15-13)!} = \frac{15!}{13!2!}$$

Теперь раскроем факториалы:

$$15! = 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times ... \times 1$$

$$13! = 13 \times 12 \times ... \times 1$$

$$2! = 2 \times 1 = 2$$

Сократим $$13!$$ в числителе и знаменателе:

$$C(15, 13) = \frac{15 \times 14 \times 13!}{13! \times 2!} = \frac{15 \times 14}{2}$$

Вычислим результат:

$$C(15, 13) = \frac{210}{2} = 105$$

Таким образом, существует 105 способов выбрать 13 школьников из 15.

Ответ: 105