В июле некоторого года было 4 понедельника и 4 пятницы. Каким днём недели могло быть 15 июля указанного года? Перечислите все возможные варианты и докажите, что других нет.

Решение:

В июле 31 день. В месяце может быть либо 4, либо 5 одинаковых дней недели. Если в месяце 4 понедельника и 4 пятницы, значит, в этом месяце 5 пятниц и 5 понедельников быть не могло. Это значит, что число дней в месяце (31) не делится нацело на 7 (число дней в неделе), и есть дни недели, которые встречаются 5 раз. Это дни с 1 по 3 число месяца.

Условие задачи гласит, что в июле 4 понедельника и 4 пятницы. Это возможно, если в июле 31 день, и 5 понедельников и 5 пятниц в месяце нет. Это значит, что 1, 2 и 3 июля приходятся на дни, которые встречаются 5 раз. Остальные дни недели встречаются 4 раза.

Таким образом, 1, 2 и 3 июля не могут быть понедельником или пятницей, потому что тогда их было бы 5.

Рассмотрим возможные варианты расположения понедельников и пятниц:

1. Вариант 1: 1 июля — среда.
• Понедельник: 4, 11, 18, 25 (4 понедельника).
• Пятница: 7, 14, 21, 28 (4 пятницы).
• 15 июля будет средой.
2. Вариант 2: 1 июля — четверг.
• Понедельник: 3, 10, 17, 24 (4 понедельника).
• Пятница: 6, 13, 20, 27 (4 пятницы).
• 15 июля будет четвергом.
3. Вариант 3: 1 июля — пятница.
• Понедельник: 2, 9, 16, 23, 30 (5 понедельников). Это противоречит условию.
4. Вариант 4: 1 июля — понедельник.
• Пятница: 5, 12, 19, 26 (4 пятницы).
• 15 июля будет понедельником.
5. Вариант 5: 1 июля — вторник.
• Понедельник: 1, 8, 15, 22, 29 (5 понедельников). Это противоречит условию.
6. Вариант 6: 1 июля — суббота.
• Понедельник: 3, 10, 17, 24 (4 понедельника).
• Пятница: 7, 14, 21, 28 (4 пятницы).
• 15 июля будет субботой.
7. Вариант 7: 1 июля — воскресенье.
• Понедельник: 2, 9, 16, 23, 30 (5 понедельников). Это противоречит условию.

Итак, 15 июля может быть средой, четвергом, понедельником или субботой.

Проверка:

• Если 15 июля — среда, то 1 июля — среда. Пятницы: 7, 14, 21, 28 (4). Понедельники: 4, 11, 18, 25 (4). Условие выполнено.
• Если 15 июля — четверг, то 1 июля — четверг. Пятницы: 6, 13, 20, 27 (4). Понедельники: 3, 10, 17, 24 (4). Условие выполнено.
• Если 15 июля — понедельник, то 1 июля — воскресенье. Пятницы: 5, 12, 19, 26 (4). Понедельники: 2, 9, 16, 23, 30 (5). Это противоречит условию. Значит, 15 июля не может быть понедельником.
• Если 15 июля — суббота, то 1 июля — пятница. Понедельники: 2, 9, 16, 23, 30 (5). Это противоречит условию. Значит, 15 июля не может быть субботой.

Вернемся к самому началу: в июле 31 день. В неделе 7 дней. 31 = 4 * 7 + 3. Это значит, что 3 дня недели будут встречаться 5 раз, а 4 дня — 4 раза. Если в месяце 4 понедельника и 4 пятницы, значит, понедельник и пятница — это те дни, которые встречаются 4 раза. Следовательно, 1, 2 и 3 июля не могут быть понедельником или пятницей.

Возможные дни для 1 июля, чтобы понедельник и пятница встречались по 4 раза:

• 1 июля — среда: Понедельники (4, 11, 18, 25), Пятницы (7, 14, 21, 28). 15 июля — среда.
• 1 июля — четверг: Понедельники (3, 10, 17, 24), Пятницы (6, 13, 20, 27). 15 июля — четверг.
• 1 июля — суббота: Понедельники (3, 10, 17, 24), Пятницы (6, 13, 20, 27). 15 июля — суббота.

Окончательная проверка:

• Если 1 июля — среда, то 15 июля — среда. Понедельники: 4, 11, 18, 25 (4). Пятницы: 7, 14, 21, 28 (4). Все верно.
• Если 1 июля — четверг, то 15 июля — четверг. Понедельники: 3, 10, 17, 24 (4). Пятницы: 6, 13, 20, 27 (4). Все верно.
• Если 1 июля — суббота, то 15 июля — суббота. Понедельники: 3, 10, 17, 24 (4). Пятницы: 6, 13, 20, 27 (4). Все верно.
• Если 1 июля — воскресенье, то 15 июля — воскресенье. Понедельники: 2, 9, 16, 23, 30 (5). Не подходит.
• Если 1 июля — понедельник, то 15 июля — понедельник. Пятницы: 5, 12, 19, 26 (4). Понедельники: 1, 8, 15, 22, 29 (5). Не подходит.
• Если 1 июля — вторник, то 15 июля — вторник. Понедельники: 1, 8, 15, 22, 29 (5). Не подходит.
• Если 1 июля — пятница, то 15 июля — пятница. Понедельники: 2, 9, 16, 23, 30 (5). Не подходит.

Ответ: 15 июля могло быть средой, четвергом или субботой.