В группе 5 учеников. 1. Эти ученики могут встать в ряд способами. Из этих учеников: 2. список из двух учеников можно составить способами; 3. команду из двух учеников можно составить способами. + Линда написала 14 картин. Для выставки нужны две картины от автора. Сколько различных пар картин Линда может отослать на выставку? ?

Задача 1: Расстановка учеников в ряд

1. Шаг 1: Расстановка 5 учеников в ряд — это перестановка из 5 элементов. Количество перестановок находится по формуле \( P_n = n! \), где \( n \) — количество элементов.
2. Шаг 2: Вычисляем \( 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \)

Ответ: 120 способами.

Задача 2: Составление списка из двух учеников

1. Шаг 1: Нужно составить список из двух учеников из пяти. Это размещение из 5 по 2, обозначается как \( A_5^2 \).
2. Шаг 2: Количество размещений вычисляется по формуле: \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \).
3. Шаг 3: Вычисляем \( A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 5 \cdot 4 = 20 \).

Ответ: 20 способами.

Задача 3: Составление команды из двух учеников

1. Шаг 1: Нужно составить команду из двух учеников из пяти. Это сочетание из 5 по 2, обозначается как \( C_5^2 \).
2. Шаг 2: Количество сочетаний вычисляется по формуле: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
3. Шаг 3: Вычисляем \( C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1)(3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 \).

Ответ: 10 способами.

Задача 4: Выбор двух картин для выставки

1. Шаг 1: У Линды 14 картин, и нужно выбрать 2 картины для выставки.
2. Шаг 2: Это сочетание из 14 по 2, обозначается как \( C_{14}^2 \).
3. Шаг 3: Количество сочетаний вычисляется по формуле: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
4. Шаг 4: Вычисляем \( C_{14}^2 = \frac{14!}{2!(14-2)!} = \frac{14!}{2!12!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12!}{(2 \cdot 1)(12!)} = \frac{14 \cdot 13}{2} = 7 \cdot 13 = 91 \).

Ответ: 91 пару картин.