В графе 40 рёбер. Каждая вершина графа имеет или степень 3, или степень 8. Причём вершин степени 3 в четыре раза больше, чем вершин степени 8. Сколько вершин в этом графе?

Решение:

Обозначим количество вершин степени 8 через \( x \).

Тогда количество вершин степени 3 будет \( 4x \).

Общее количество вершин в графе равно \( x + 4x = 5x \).

По теореме о сумме степеней вершин графа, сумма степеней всех вершин равна удвоенному количеству рёбер:

\[ 3 \cdot (4x) + 8 \cdot x = 2 \cdot 40 \]\[ 12x + 8x = 80 \]\[ 20x = 80 \]\[ x = \frac{80}{20} \]\[ x = 4 \]

Таким образом, количество вершин степени 8 равно 4.

Количество вершин степени 3 равно \( 4x = 4 \cdot 4 = 16 \).

Общее количество вершин в графе равно \( 5x = 5 \cdot 4 = 20 \).

Ответ: 20 вершин.