В геометрической прогрессии второй член равен 8, а знаменатель равен -2. Найдите седьмой член этой прогрессии и сумму первых семи её членов.

Решение:

В геометрической прогрессии каждый член можно выразить через предыдущий, умноженный на знаменатель (q). Второй член (b₂) известен, и знаменатель (q) тоже. Нужно найти седьмой член (b₇) и сумму первых семи членов (S₇).

• Известно:

• b₂ = 8
• q = -2

• Найти:

• b₇ = ?
• S₇ = ?

Пошаговое решение:

1. Выразим первый член (b₁) через второй член (b₂):

\[ b_2 = b_1 \cdot q \]\[ 8 = b_1 \cdot (-2) \]\[ b_1 = \frac{8}{-2} = -4 \]

• Теперь мы знаем, что b₁ = -4.

2. Найдем седьмой член (b₇) геометрической прогрессии:

\[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \]\[ b_7 = -4 \cdot (-2)^{7-1} \]\[ b_7 = -4 \cdot (-2)^6 \]\[ b_7 = -4 \cdot 64 \]\[ b_7 = -256 \]

• Итак, седьмой член b₇ = -256.

3. Вычислим сумму первых семи членов (S₇) геометрической прогрессии:

\[ S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} \]\[ S_7 = \frac{-4(1 - (-2)^7)}{1 - (-2)} \]\[ S_7 = \frac{-4(1 - (-128))}{1 + 2} \]\[ S_7 = \frac{-4(1 + 128)}{3} \]\[ S_7 = \frac{-4 \cdot 129}{3} \]\[ S_7 = \frac{-516}{3} \]\[ S_7 = -172 \]

• Сумма первых семи членов S₇ = -172.

Ответ: Седьмой член прогрессии равен -256, а сумма первых семи членов равна -172.